Nomenclatura en el análisis complejo

Question

Estoy teniendo un poco de confusión en la nomenclatura de funciones en el análisis complejo. Si $f$ es un holomorphic función en el plano complejo y su dominio es el plano complejo, a continuación, se llama a una función completa.

Si $g$ es holomorphic en todas partes en el plano complejo, aparte de sus polos y su dominio es el plano complejo, entonces es una función de meromorphic.

Pero... Si $g$'s de dominio se extiende a la esfera de Riemann (y no tiene una singularidad esencial en el infinito) es una "función de meromorphic con dominio de la esfera de Riemann" o "holomorphic función con dominio de la esfera de Riemann" o una "función racional"?

Gracias!

Answer 1

Holomorphic funciones son generalmente definidas sobre un conjunto abierto del plano complejo o de la esfera de Riemann.

Un holomorphic función definida sobre todo el plano complejo se llama todo. Esta es una definición.

Un meromorphic función es la que se holomorphic excepto aislado singularidades, que debe ser de los polos. Esta es una definición.

Un meromorphic función definida sobre el conjunto de la esfera de Riemann debe ser una función racional. Este es un teorema.

Un holomorphic función definida sobre el conjunto de la esfera de Riemann debe ser constante. Este es un teorema.

La única totalidad de las funciones que se extienden a meromorphic funciones en la esfera de Riemann son polinomios. (Gracias a Theo Buehler para señalar esto.)

Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic#Meromorphic_functions_on_Riemann_surfaces.