Soy un EE estudiante y estoy empezando a aprender sobre el Colector de Grassmann.
Como se sabe que el Colector de Grassmann es un espacio en el tratamiento de cada subespacio lineal con una dimensión específica en el espacio vectorial $V$ como un único punto, por ejemplo, podemos representar el conjunto de todos los $k$-dimensional lineal subespacios $X$ $n$- dimensional espacio vectorial $V$ Grassmann Colector $Gr(k,n)$, y el tratamiento de cada una de las $X \in Gr(k,n)$ como un punto en el espacio Euclídeo.
Pero me pregunto que, si estamos interesados en subespacios lineales con diferentes dimensiones representadas por el Grassmann Colector, la cual es$Gr(r,n)$$Gr(k,n)$$k \neq r$, ¿cuál es la relación entre ellos? ¿Hay alguna teoría o un libro contando este tipo de historias?
Al menos yo no he encontrado ningún material acerca de esta cuestión, así que tengo la esperanza de que cualquiera que esté familiarizado con este para que me ayude.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay algunas relaciones entre los espacios de $Gr(1,n), Gr(2,n), \cdots, Gr(n-1,n)$. El grande (como se explica en la página de la Wikipedia) es que $Gr(j,n)$ $Gr(n-j,n)$ son diffeomorphic en una forma canónica. La idea es que si tienes un $j$-dimensiones subespacio de un $n$-dimensiones del espacio, el complemento ortogonal es una $n-j$-dimensiones del subespacio. Por lo que necesita un producto interior para dar sentido a este, pero eso es todo.
Así que cuando $n=3$, esto le da todas las relaciones. Al $n$ es, incluso, el complemento ortogonal de la construcción le da un punto fijo gratis involución de $Gr(n/2,n)$.
Usted podría pedir otro tipo de relaciones, pero todos ellos tienen algún tipo de degeneración. Por ejemplo, si se arregla un $n-1$-dimensiones subespacio del espacio ambiente, llame a $V$. Entonces usted puede cortar un subespacio de $Gr(j,n)$$V$. Esto es "casi" un mapa de$Gr(j,n)$$Gr(j-1,n)$, con el problema, es que no toma valores en $Gr(j-1,n)$ cuando el espacio vectorial en $Gr(j,n)$ es un subespacio de $V$. Pero si usted fija la mirada en esta construcción por un tiempo de desarrollar la idea de "Schubert de las células". Esto le da todas las principales relaciones entre el grassmannians de diversas dimensiones. Espero que le ayuda a algunos.
