Estoy leyendo un tutorial sobre Categorías y dice que el determinante $GL_n \longrightarrow \left( \right)^*$ es un ejemplo sencillo de una transformación natural, pero vergonzosamente estoy un poco confundido al respecto. ¿Qué es esto? $\left( \right)^*$ es decir, ¿cuáles son nuestras dos categorías aquí? Gracias.
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Aleksandr Levchuk
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$\mathrm{GL}_n(-)$ es un functor de la categoría $\textbf{CRing}$ de anillos conmutativos a la categoría $\textbf{Grp}$ de grupos, mapeando un anillo conmutativo $A$ al grupo $\mathrm{GL}_n(A)$ . De la misma manera, $(-)^*$ (Prefiero escribir $(-)^\times$ ) es un functor $\textbf{CRing} \to \textbf{Grp}$ enviar un anillo $A$ a su grupo de unidades $A^*$ . Se comprueba entonces que el determinante es una transformación natural de estos funtores.
Hurkyl
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$()^*$ es el functor que toma un anillo $R$ y devuelve su grupo de unidades $R^*$ . Es habitual escribir los funtores utilizando una notación que refleje la forma en que se escriben sus valores: ya que $R^*$ es el grupo de unidades de $R$ escribimos $()^*$ para el functor correspondiente. En realidad, $(-)^*$ es más común.
Otros ejemplos que se ven pueden ser algo así como $\hom(X, -)$ que es el functor que envía un objeto $Y$ de su categoría al conjunto $\hom(X, Y)$ y una acción correspondiente sobre los morfismos $f:Y \to Z$ .
En cualquier caso, los dos funtores enumerados son de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de grupos.
