Profinite topología de un Grupo de

Question

Deje $G$ ser un grupo. Consideremos ahora el conjunto de todos (a la izquierda, por ejemplo) cosets en $G$ de los subgrupos de índice finito. Este conjunto es una base para una topología en $G$.

He encontrado un sitio que si $G$ es residual finito, a continuación, $G$ es un espacio compacto en esta topología, pero no puedo ver por qué. Primero de todo, es cierto? Segundo, cualquier (tal vez el grupo más teórico) consejos?

Answer 1

La afirmación no es verdadera. El grupo de los enteros $\mathbf Z$ es residual finito. Por otro lado, considerar el abrir de los conjuntos de $U_p\subseteq \mathbf Z$ definido por $U_p = p\mathbf Z$ donde $p$ ejecuta a través de los números primos. Claramente $\{U_p\} \cup \{5 \mathbf{Z} +1\} \cup \{5 \mathbf{Z} -1\}$ es una cubierta de $\mathbf Z$ (como cualquier entero es $\pm 1$ o divisible por algún primo). Pero esta cobertura no tiene finita sub-cobertura: por el Teorema del Resto Chino, no es finito conjunto de los números primos tales que cada número entero que es $\pm 2$ mod $5$ es divisible por uno de esos números primos.

Podemos dar un criterio. Decir que $G$ es residual finito, es decir que la canónica de morfismos $G \to \widehat{G}$ $G$ a su profinite competencia es inyectiva. Por lo tanto, si $G$ es residual finito, $G$ incrusta como una densa subgrupo del grupo compacto $\widehat{G}$. Desde $\widehat{G}$ es Hausdorff y compacto, $G$ será compacto, precisamente cuando está cerrado en $\widehat{G}$ - es decir, precisamente cuando la $G=\widehat{G}$.

(Gracias a studiosus por señalar mi anterior error. Mi error era el tonto de la declaración que abrir los subconjuntos de profinite grupos son cerrados - lo cual es falso. Abrir los subgrupos cerrados, pero subconjuntos abiertos no necesita ser cerrado! Por ejemplo, el complemento de un punto en el infinito profinite grupo no es, obviamente, cerrado).