Determinante de matrices a lo largo de una línea entre dos matrices dadas

Question

La pregunta, sin simplificaciones ni motivaciones:

Dejemos que $A$ y $B$ sean matrices cuadradas del mismo tamaño (con coeficientes reales o complejos). ¿Cuál es la fórmula más razonable que se puede encontrar para el determinante $$\det((1-t)A + tB)$$ en función de $t \in [0,1]$ ? Si no existe ninguna fórmula razonable, ¿qué podemos decir sobre estos determinantes?

Así que estamos tomando una línea entre dos matrices $A$ y $B$ y calculando el determinante a lo largo de esta línea. Cuando $A$ y $B$ son diagonales, digamos $$A = \operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n), B = \operatorname{diag}(b_1,\ldots,b_n),$$ entonces podemos calcularla directamente: $$\begin{aligned} \det((1-t)A + tB) &= \det \operatorname{diag}((1-t)a_1 + tb_1, \ldots, (1-t)a_n + tb_n) \\ &= \prod_{j=1}^n ((1-t)a_j + tb_j). \end{aligned}$$ No estoy seguro de que esto pueda simplificarse más, pero estoy seguro de que alguien puede llevar las cosas al menos un poco más lejos que yo.

Tengo mucha curiosidad por el caso en el que $A = I$ y cada $(1-t)A + tB$ se supone que es invertible. Esto es lo que sé en este caso: escribir $$D(t) = \det((1-t)I - tB),$$ podemos calcular que $$ \dot{D}(t) = D(t) c(t)$$ donde $$c(t) := \operatorname{trace}(((1-t)I + tB)^{-1}(B-I))$$ (una advertencia: no estoy 100% seguro de que esta fórmula sea válida). Así, podemos escribir $$D(t) = \exp\left(\int_0^t c(\tau) \; d\tau\right)$$ desde $D(0) = 1$ . No tengo ni idea de cómo tratar la función $c(\tau)$ sin embargo. ¿Algún consejo?

Answer 1

Creo que tengo una respuesta para el último caso que he mencionado ( $A=I$ , todos $(1-t)I + tB$ invertible). La clave está en escribir $$\begin{aligned} \int_0^t c(\tau) \; d\tau &= \operatorname{trace} \int_0^t ((1-\tau)I + \tau B)^{-1} (B-I) \; d\tau \\ &= \operatorname{trace} \log ((1-t)I + tB) \end{aligned} $$ usando eso $\frac{d}{dt}((1-t)I + tB) = B-I$ y $\frac{d}{dt}\log(A(t)) = A(t)^{-1} \frac{d}{dt} A'(t)$ (¡Creo que esto es cierto!). Tomar logaritmos matriciales aquí debería estar bien, ya que todo lo que está a la vista es invertible. Entonces $$ D(t) = e^{\operatorname{trace} \log((1-t)I + tB)}. $$ Por supuesto, esto nos deja con el problema de calcular un logaritmo matricial, pero en el caso de que $B$ es diagonal, esto se reduce a la primera fórmula de mi pregunta. Probablemente se podría generalizar al caso de los invertibles generales $A$ mediante la computación $\dot{D}(t)$ como antes. Lo haré mañana y haré una edición con los resultados (¡o puedes hacerlo tú!)