Explicación de por qué los $1\neq 0$ es explícitamente mencionado en el Capítulo 1 de Spivak del Cálculo de las propiedades de los números.

Question

Durante las primeras páginas de Spivak del Cálculo (Tercera edición) en el capítulo 1 se menciona seis propiedades de los números.

(P1) Si $a,b,c$ son todos los números, a continuación, $a+(b+c)=(a+b)+c$

(P2) Si $a$ es cualquier número, a continuación, $a+0=0+a=a$

(P3) Para cada número de $a$, hay un número de $-a$ tal que $a+(-a)=(-a)+a=0$

(P4) Si $a$ $b$ son todos los números, a continuación, $a+b=b+a$

(P5) Si $a,b$ $c$ son todos los números, a continuación, $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

(P6) Si $a$ es cualquier número, entonces $a\cdot 1=1\cdot a=a$

A continuación, se indica, además, que $1\neq 0$. En el libro se dice que fue un hecho importante para la lista, porque no hay forma de que pueda ser probado sobre la base de la $6$ propiedades mencionadas estas propiedades tengamos si hay sólo un número, es decir,$0$.

Preguntas:

1) ¿Cómo hace uno para demostrar rigurosamente que $1\neq0$ no puede ser probado por medio de la $6$ propiedades de la lista?

2) Se dice que "estas propiedades tengamos si hay sólo un número, es decir,$0$." Es la razón por la que esto es explícitamente mencionado es para evitar que este caso trivial donde sólo tenemos el número de $0$? Hay otra razón más profunda de por qué esta frase fue mencionada en relación a $1\neq 0$?

NB: por favor alguien Puede comprobar si las etiquetas son apropiados y editar si es necesario? Gracias.

Answer 1

Para mostrar que $1\neq 0$ no puede ser probado a través de los otros seis propiedades, considerar el conjunto que contiene un solo elemento, $\{\bullet\}$. Definir $+$$\bullet+\bullet = \bullet$$\cdot$$\bullet\cdot\bullet = \bullet$. A continuación, dejar $0=\bullet$, $-\bullet =\bullet$, y $1=\bullet$, todos los seis axiomas están satisfechos, pero $1=0$. Por lo tanto, $1\neq 0$ no puede ser demostrada a partir de los primeros seis axiomas, ya que usted tiene un modelo en el que los seis primeros axiomas son verdaderos, sino $1\neq 0$ no lo es.

Sí: la razón por la que debemos especificar es así que no solo tenemos la de un elemento de "campo". Basicallly, la condición de que $1\neq 0$ es formalmente indecidible de los primeros seis propiedades, por lo que necesita ser especificado.

Answer 2

Para demostrar que $1 \neq 0$ no puede ser probada a partir de esas propiedades, uno puede construir un ejemplo en donde la $1 = 0$ y esas propiedades, ya que esto significa que usted tiene de las estructuras que satisfacen los axiomas en que algunos tienen $1 = 0$ y otros han $1 \neq 0$, por lo que esta propiedad es independiente de los axiomas.

Específicamente, el cero del anillo (lo que se obtiene si usted tiene un único número) cumple con todos ellos. Si usted desea, usted puede comprobar fácilmente de forma manual, ya que la única opción para cualquier variable es $0$:

P1) $0 + (0 + 0) = 0 = (0 + 0) + 0$

P2) $0 + 0 = 0 = 0 + 0$

etc.

P6 es la que debemos mirar específicamente, puede ser escrito como "existe un número $x$ tal que $a \cdot x = x \cdot a = a$, y llamamos a esta $x$ $1$ de los anillos". En el cero del anillo, elija $x = 0$, por lo que

$0 \cdot x = 0 \cdot 0 = 0 = x \cdot 0$

Por lo tanto $0$ satisface la regla de la "$1$" en el anillo, y por lo $0 = 1$.

Answer 3

(1) ¿Cómo se hace rigurosamente demostrar que 1≠0 no puede ser demostrada a partir de los 6 propiedades de la lista?

(2) Se dice que "estas propiedades tengamos si hay sólo un número, es decir, 0 ." Es la razón por la que esto es explícitamente mencionado es para evitar que este caso trivial donde sólo tenemos el número 0 ? Hay otra razón más profunda de por qué esta frase fue mencionada en relación a 1≠0 ?

Cualquier ecuacional teoría algebraica cuyos axiomas son todos universales, es decir, que afirman la igualdad de condiciones compuestas de operaciones, variables y constantes, para todos los valores de las variables, tiene necesariamente un elemento de modelo. De hecho, la definición de todas las constantes a ser el elemento (es decir $0)$ y la definición de todas las operaciones de valor de $0$ hace que todos los axiomas cierto, ya que evaluar a $\,0 = 0.$

Por lo tanto $\,1\ne 0\,$ no es deducible a partir de sus axiomas, ya que no es verdadera en un modelo de elementos.

La razón por la que $\rm\:1\ne 0\:$ se adhiere como un axioma para los campos (y dominios) es simplemente una cuestión de conveniencia. Por ejemplo, resulta muy conveniente objetivo para las pruebas por la contradicción, que a menudo a la conclusión de deducir $\rm\:1 = 0.\:$ También, evita el inconveniente de la necesidad de excluir explícitamente en las pruebas de motley degenerados de los casos que ocurren en un elemento de los anillos, por ejemplo, que el $\rm\:0\:$ es invertible, ya que $\rm\:0\cdot 0 = 1\, (= 0).\:$ Mucho más de lo que las pruebas por la contradicción, esto confunde a muchos estudiantes (e incluso algunos experimentados matemáticos) como se vio aquí en el pasado, por ejemplo, véase el comentario largo hilos aquí y aquí (ver esp. mis comentarios en Hendrik la respuesta).

Answer 4

Lo importante para que se de cuenta aquí es que $1$, $0$, $+$, $\cdot$, $-$ no necesita decir las cosas que usted está acostumbrado a ellas significado. Podemos llegar por cualquier regla para combinar las cosas, y si se comporta un poco como $+$ (es decir, sigue las reglas (1)-(4)) podemos llamarlo $+$, y si se comporta un poco como $\cdot$ podemos llamarlo $\cdot$. Entonces, si un objeto sigue la regla (2) podríamos llamarlo $0$ y si un objeto se sigue la regla (6) podríamos llamarlo $1$. Dadas estas seis reglas, ni siquiera podemos estar seguros de que $+$ $\cdot$ son operaciones diferentes^{de 1}, por lo que no podemos estar seguros de que el objeto que llama $0$ y el objeto que llama $1$ son de diferentes objetos.

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¹ brillan por su omisión en la lista es la distributiva de la ley que define cómo la multiplicación y la adición de interactuar: $a\cdot(b + c)=a\cdot b+a\cdot c$. Si que se incluyeron, tendríamos una especie de forma de contar la diferencia entre la adición y la multiplicación, pero no todavía estaría completamente interesante caso (sólo un objeto, y todas las operaciones que acaban de darle el objeto de nuevo), donde funcionó pero todavía $0 = 1$.