La construcción de los números enteros desde cero (y la multiplicación de números negativos)

Question

Ahora entiendo que lo que te voy a pedir que pueden parecer una increíblemente simple pregunta, pero me gusta probar y entender las matemáticas (especialmente algo tan fundamental como este) en el nivel más profundo posible. Y para la vida de mí, yo no puedo deshacerme de esta sensación que tengo de que algo no está bien.

Permítanme comenzar:

Primero de todo, yo estaba leyendo Terry Tao de la discusión acerca de la construcción de la norma de sistema de numeración y estaba muy contento con la forma en que $\mathbb{C}$ pueden ser sistemáticamente construido a partir de los números naturales a través de un sistema de homomorphisms (como límite): $$\mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} \hookrightarrow \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{C}$$

En particular, nos habla de cómo los enteros pueden ser construidos como el espacio de clases de equivalencia de las diferencias formales entre números naturales, donde $$[a-b]\sim[c-d ] \iff a+d=b+c$$ with $a,b,c,d\in\mathbb{N}.$ Él va a decir "con la media aritmética de las operaciones de extendido de una manera consistente con las leyes del álgebra."

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Ahora, para$(\mathbb{N},+,\cdot)$, además es sencillo, y $$n\cdot k:=\underbrace{k+\cdots+k}_{n\;\text{times}}$$ is well defined with $n\cdot k=k\cdot n$. Moreover, the distributive law, $n\cdot(m+k)=n\cdot m+n\cdot k$, también se mantiene.

Sin embargo, cuando quiero construir $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ como en el anterior, me encuentro con algunos problemas. Además de dos clases de equivalencia, parece bastante sencillo, dado por $$[a-b] + [c-d] := [ (a+c)-(b+d) ],$$ and is well defined. This makes sense as we simply "add up" the positive and negative amounts together. This definition also behaves nicely with the map $\varphi:\mathbb{N}\hookrightarrow\mathbb{Z}$, given by $n\mapsto[ n-n 0 ]$; with $\varphi(n+k)=\varphi(n)+\varphi(k)$, where the second addition is the addition of equivalence classes. Moreover, we have commutativity of addition; the existence of an additive identity, namely $[0-0]$; and the existence of additive inverses, $[a-b]+[b-a]\sim[0-0].$

Pero ahora, cuando trato de definir la multiplicación de clases, estoy seguro de cómo proceder:

Si tenemos en cuenta nuestro habitual reglas algebraicas, obtenemos que $$(a-b)\cdot(c-d)=a\cdot c-a\cdot d-b\cdot c+b\cdot d,$$ which might lead us to define the multiplication of two equivalence classes as $$[ a-b ]\cdot[ c-d ]:=[ (a\cdot c+b\cdot d)-(a\cdot c+b\cdot c) ].$$ Now it's easy to check that this is indeed well defined, and obeys the distributive law with the definition of addition we've given above. However I feel that we've simply gone in a circle (logically) as we've assumed a priori that $(-b)\cdot c=-(b\cdot c)$ and $(-b)\cdot(-d)=(b\cdot d)$.

Ahora, estoy muy familiarizado con el hecho de que si el conjunto es un anillo (con la unidad), entonces estos resultados (particularmente negativo veces negativo es positivo) ven simplemente como un resultado de jugar con inversos aditivos y la distributiva de las leyes (ver aquí). Sin embargo, mi problema es que sólo hemos conseguido esta estructura de anillo en nuestro conjunto de clases de equivalencia, apelando a la estructura de anillo de los números enteros, que es exactamente lo que estamos tratando de construir desde cero! Y yo no quiero simplemente definir la multiplicación de esta manera "porque funciona"; siempre ha sido mi sensación de que resultados como $(-1)\cdot(-1)=1$ debe venir como consecuencias de la estructura, y no como las propiedades que se nos imponen.

Así que me pregunto si hay una forma de evitar este problema. Es esta definición particular de la multiplicación el único que:

1. está bien definido?
2. satisface el distributiva leyes?
3. es asociativa?
4. tiene una identidad multiplicativa? $$[1-0]\cdot[a-b]=[a-b],\;\text{for all $a,b\in\mathbb{N}$}$$
5. da un homomorphism que se divide sobre la multiplicación? $$\varphi:(\mathbb{N},+,\cdot)\hookrightarrow(\mathbb{Z},+,\cdot),\; n\mapsto[ n-0 ]$$ $$\varphi(n\cdot k)=\varphi(n)\cdot\varphi(k)=[ n-0 ]\cdot[ k-0 ]$$

Si nuestro deffiniton de la multiplicación tiene todas estas propiedades, entonces vamos a tener una estructura de anillo en nuestro conjunto de clases de equivalencia, y a todos los familiares de las propiedades de los números enteros será establecido. Sin embargo, no es inmediatamente claro para mí que esta es nuestra única opción. Alguien puede arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

La manera más fácil de convencer a sí mismo que no hay circularidad, es notar que toda la discusión que conduce a la ley $$\tag{*} [a-b][c-d]=[(ac+bd)-(ad+bc)]$$ es superfluo de una forma completamente riguroso punto de vista. La discusión hace que se parezca a $(*)$ es un deduce la verdad, pero desde un punto de vista formal es sólo una definición. Sólo podríamos haber sacó de un sombrero, o que se encuentran en la perdida de los cuadernos de un loco fallecido genio. Todo lo que importa de un formal punto de vista es que podemos demostrar que esta definición nos permite demostrar las leyes queremos ser verdaderos (como la asociativa y distributiva de las leyes).

La "circular" de la discusión que conduce a la definición está ahí para satisfacer el estudiante la curiosidad de por qué alguien podría hacerme a la idea de probar un complicado definición en el primer lugar. La circularidad no no importa; uno es permitido el uso de todo tipo de estúpidos trucos, dudoso de intuiciones, clarividente y trampas para decidir lo que uno quiere probar, siempre y cuando la prueba en sí (que se incluye más adelante) es sólido.

Answer 2

Te he respondido a tu propia pregunta. Usted dice que usted está familiarizado con el hecho de que $(-b)c = -bc$ $b(-d) = -bd$ en un anillo. Ahora, si usted escribe una definición de multiplicación que satisface todas las propiedades, se obtiene una estructura de anillo en el conjunto de clases de equivalencia, y $(-b)c = -bc$ $b(-d) = -bd$ en un ring...!

Quizás algo más de generalidad va a hacer este argumento parece menos circular. Usted tiene un aparejo $R$. Esta plataforma tiene un subyacente aditivo monoid $M = (R, +)$. Este abelian monoid tiene un grupo de Grothendieck $G(M)$, que es el grupo universal en que $M$ mapas. Más precisamente, no es un olvidadizo functor $F : \text{Ab} \to \text{CMon}$ a partir de la categoría de abelian grupos a la categoría de conmutativa monoids, y el grupo de Grothendieck functor es su izquierda adjunto. $G(M)$ se compone de clases de equivalencia de expresiones formales $m - n$ donde $m, n \in M$ con la adición definida como era de esperar.

Ahora usted quiere poner una estructura de anillo en $G(M)$ compatible con la multiplicación en $R$. Resulta que lo que estamos construyendo es el universal del anillo en el que $R$ mapas; más precisamente, no es un olvidadizo functor de la categoría de los anillos a la categoría de plataformas y que están construyendo su izquierda adjunto. Bueno, en cualquier anillo necesitamos $$(a - b)(c - d) = ac - bc - ad + bd$$

como usted bien sabe, así que este es el único posible estructura de anillo en $G(M)$ compatible con la multiplicación en $R$ (y la distributividad, inversas, etc.) si es bien definido. Esta es una propiedad general de adjoint functors (que son únicos hasta un único isomorfismo si es que existen). La única cosa que queda es comprobar que realmente funciona.

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Otra forma de decir lo anterior es la siguiente. Deje $R$ ser un equipo y vamos a $S$ ser un anillo, y deje $\phi : R \to S$ ser cualquier plataforma homomorphism alguna. Entonces $$(\phi(a) - \phi(b))(\phi(c) - \phi(d)) = \phi(ac) - \phi(bc) - \phi(ad) + \phi(bd).$$

No hay nada de circular sobre esto porque la $S$ es un anillo y el cálculo anterior se lleva a cabo en $S$.

Answer 3

No hay circularidad. Que tal vez debería recordar que $-a$ $-b$ no significa nada en $\mathbb{N}$, de modo que su producto dentro de $\mathbb{N}$ es también de sentido. La manera de acercarse a este, es decir, el siguiente

$"$Nos vamos a definir una función de $m:(\mathbb{N}\times \mathbb{N})\times(\mathbb{N}\times \mathbb{N})\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}, ((a,b),(c,d))\mapsto (ac+bd,ad+bc)$. Esto, usted estará de acuerdo, está bien definida la función. A continuación nos aviso, como usted tiene, que esta función es compatible con la relación de equivalencia $\sim$, es decir,$\forall a,a',b,b',c,c',d,d'\in\mathbb{N}$, $$(a,b)\sim (a',b') \mathrm{~and~} (c,d)\sim (c',d') \mathrm{~imply~} m((a,b),(c,d))\sim m((a',b'),(c',d,))$$ so whenever we "multiply" (read : apply $m$ a) dos pares ordenados, la clase de equivalencia del resultado sólo depende de las clases de equivalencia de pares de nosotros "multiplicado".

Siendo este el caso, se obtiene un bien definidos mapa (que voy a llamar a $m$) en el conjunto de clases de equivalencia $\mathbb{Z}:=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim$ de la equivalencia de la relación de $\sim$ $$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z},([a,b],[c,d])\mapsto [m((a,b),(c,d))]=[ac+bd,ad+bc]"$$

donde escribí $[a,b]$ para la clase de equivalencia del par ordenado $(a,b)$ (usted escribió $[a-b]$, lo cual está bien, pero puede llevar a pensar que hay algún tipo de negación a utilizar y a "esperar" para que se comporte de alguna manera, como la negación, para el que no hay a priori ninguna razón). El hecho de que $(-1_{\mathbb{Z}})\times(-1_{\mathbb{Z}})=1_{\mathbb{Z}}$ y así sucesivamente luego son propiedades que se pueden comprobar fácilmente.