Por ejemplo, para decir que hay 2 grupos de hasta isomorfismo que el orden de G es igual a $p^2$?
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jball
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14152
Un buen ejemplo para agregar. "No es sólo un grupo de orden 2 hasta el isomorfismo". El grupo es de $G=\{e,\}$ con $ea=ae=a$ y $a^2=e$. Ahora usted podría decir "tengo otro grupo, $H=\{e,a, b\}$ con $eb=ser=b$ y $b^2=e$". Su grupo ES diferente al mío, pero su grupo es el nuevo nombre de la versión de la mina. "Cambiar el nombre de" isomorfismo.
Kyle Miller
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1745
De manera más general, "la igualdad de hasta $\sim$", donde $\sim$ es algunos de primer orden de la equivalencia de la relación, significa que tenemos temporalmente redefinido la igualdad de modo que $x$ y $y$ son "iguales" o "equivalentes" si $x\sim$ y. Una propiedad de $P$ "mantiene hasta $\sim$" o "tiene el modulo $\sim$" si $P$ sólo depende de la clase de equivalencia.
(De primer orden la relación de equivalencia, me refiero a una fórmula en la lógica de primer orden a nivel que tiene las propiedades de una relación de equivalencia. Si hay un conjunto que contiene a todos los objetos bajo estudio, esta técnica puede ser ignorada, y una normal relación de equivalencia va a hacer.)
Equivalencias veamos establece de una manera que oculta un detalle irrelevante. Como Timothy Gowers escribió en Matemáticas: Una Muy Breve Introducción, "un objeto matemático es lo que hace." En álgebra hemos isomorphisms, en topología hemos homeomorphisms, en la geometría diferencial tenemos diffeomorphisms, en topología algebraica hemos homotopy de equivalencia, y en la categoría teoría, hemos natural isomorphisms. Todos estos conservar exactamente la estructura que se puede medir cuando se trabaja con el conjunto por algunos axiomas. Por ejemplo, dos grupos son "el mismo" (igual hasta isomorfismo) si uno no puede decir la diferencia entre ellos a la hora de componer o la inversión de los elementos.
Una gran ventaja para el uso de la equivalencia en lugar de la igualdad es la singularidad. De otra manera sería más difícil expresar algo como "no es exactamente un grupo con siete elementos [hasta isomorfismo]." Por supuesto, hay muchos grupos de siete elementos, pero todos ellos son de la misma en cuanto a ser un grupo de que se trate.
Un metamathematical a un lado: cuando hablamos del concepto básico de la igualdad de conjuntos dos conjuntos se consideran iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, y por lo que son "iguales hasta extensionality" (aunque puede que "realmente" ser diferentes, pero no de cualquier manera nos importa).
Una práctica aparte: lenguajes de programación del ordenador darle una interfaz para determinar la equivalencia entre dos objetos, y hay muchas maneras de acercarse a este. Algunas opciones incluyen: hacer que ocupan la misma posición de memoria? ¿tienen la misma representación? ¿qué hace su decisión en el procedimiento para la determinación de la igualdad de decir? Sea cual sea la elección determina en el que la matemática del universo de la lengua calcula.
aes
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5160
En Isomorfismo y la Igualdad:
Intuitivamente, esto significa que hay dos grupos de estructuras de orden $4$. Pero hay un problema: hay muchos que no la igualdad de los grupos de orden $4$ (ver más abajo).
La forma correcta de formular esta idea es decir que hay sólo dos grupos de orden $4$ a isomorfismo (de nuevo, ver a continuación).
Para ilustrar, aquí hay varios grupos de orden $4$:
$\{0,1,2,3\}$ con el grupo de operación de adición módulo $4$
$\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$ con el grupo de operación de adición de vectores modulo $2$
$\{1, i, -1, -i\}$ con el grupo de operación de multiplicación
$\{\textrm{dejar como está}, \textrm{flip sobre el eje x}, \textrm{flip sobre el eje y}, \textrm{flip sobre el eje z}\}$ con el grupo de operación "de la composición de las acciones" (así, por ejemplo, voltear alrededor del eje x y luego voltear alrededor del eje y es voltear alrededor del eje z [probarlo!])
$\{alice, bob, carol, dave\}$ con el grupo de operación: alice es la identidad, a alguien más sí es alice, dos no-alice personas compuesto es el tercer no-alice persona
El Resultado:
Así que, ¿alguno de estos grupos iguales? No. Son todos distintos grupos (incluso son distintas como conjuntos), debido a que sus elementos no son los mismos.
Pero la primera y la tercera son isomorfos, y el segundo, el cuarto y el quinto son isomorfos. El primer y tercer trabajo de la misma manera ("han isomorfo las estructuras de grupo"), sólo con los elementos cambiado de nombre. De manera similar para el segundo, el cuarto y el quinto.
Pero la primera y la segunda son no isomorfos: la primera de ellas tiene un elemento que se añade a sí mismo no es la identidad. No así para la segunda. Así que la primera/tercera y la segunda/cuarto/quinto son diferentes clases de isomorfismo de grupos.
Muchos de los enunciados matemáticos del tipo "sólo hay dos cosas de este tipo", deberá indicarse con "isomorfismo" porque la igualdad es demasiado estricta: usted está interesado en cómo el grupo funciona, no lo que sus elementos realmente son.
parzan
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16
Un rápido pensé que me gustaría añadir a las otras respuestas que uno necesita para tener en cuenta.
Algunas veces estamos tan atrapados en la equivalencia definidas por el isomorfismo que en realidad nos olvidamos de que dos isomorfo grupos pueden ser diferentes grupos y a veces, esto hace una gran diferencia a la discusión. Por ejemplo, un grupo puede tener dos subgrupos que son isomorfos copias de uno a otro dentro del supergrupo, pero esto es muy diferente de los grupos es la misma. En relación con el supergrupo, dos isomorfo copias de un subgrupo pueden tener muy diferentes propiedades: considerar $\mathbb{R}\times\mathbb{T}^2$, el producto de la línea real y el toro, donde las entidades de su grupo, puede ser representado como 3-tuplas $(x,\,e^{i\,\phi},\,e^{i\,\theta})$ y el grupo de operación se define por:
$$(x_1,\,e^{i\,\phi_1},\,e^{i\,\theta_1})\,(x_2,\,e^{i\,\phi_2},\,e^{i\,\theta_2}) = (x_1+x_2,\,e^{i\,(\phi_1+\phi_2)},\,e^{i\,(\theta_1+\theta_2)})$$
El de los subgrupos:
$$G = \{(x,\,1,\,1)|\,x\in\mathbb{R}\}$$ $$H(\alpha) = \{(0,\,e^{i\,\phi},\,e^{i\,\alpha\,\phi})|\,x\in\mathbb{R}\}$$
donde $\alpha$ es irracional son isomorfos copias de uno con el otro: ambos son isomorfos a la real aditivo grupo $(\mathbb{R},\,+)$. Pero $G$ es cerrado en el obvio topología de $\mathbb{R}\times\mathbb{T}^2$ (es decir, que para que una base es de todos los conjuntos de la forma $(\mathcal{I}_1,\,e^{i\,\mathcal{I}_2},\,e^{i\,\mathcal{I}_3})$ donde $\mathcal{I}_j$ están abiertas intervalos en $\mathbb{R}$), mientras que $H(\alpha)$ no es: su cierre es el conjunto de toro de $\mathbb{T}^2$.
(para demostrar que $H(\alpha)$ es isomorfo a $(\mathbb{R},\,+)$, asumir que no es un miembro $(0,\,e^{i\,\phi},\,e^{i\,\alpha\,\phi})$, equivalente a la identidad de dólares(0,1,1)$ otros de la propia identidad, es decir, que el "hilo" $H(\alpha)$ vínculos con sí mismo: entonces $\phi=2\m\,\alpha\,\phi = 2\n\,\pi$ para $m,\,n\in\mathbb{Z}$, que contradice la suposición de que $\alpha$ era irracional)
user46944
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El siguiente es un análisis muy general sobre la idea de un isomorfismo sin entrar en detalles sobre qué tipos de estructuras que estamos hablando (por ejemplo, grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.) desde la idea general de lo que debe ser el mismo en cada uno de estos.
¿Qué significa para dos estructuras a ser isomorfo a uno de otro? Esto significa que hay una manera de asignar los elementos de una estructura bijectively a los otros que en virtud de este mapa, el cual identifica los elementos unos con otros, el comportamiento de los elementos identificados es el mismo.
Por ejemplo, supongamos que tengo dos estructuras de $G$ y $H$ (que se puede considerar a los grupos si te gusta), y me dicen que $G$ y $H$ son isomorfos. Entonces eso significa que puedo encontrar un bijection entre los conjuntos $G$ y $H$, llame a $\phi : G \H$, tal que si $a, b \in G$, y nos fijamos en $\phi(a)$ y $\phi(b)$ en $H$, a continuación, a través del isomorfismo sabemos que si nos fijamos en la interacción de $a$ y $b$ de $G$, y llame a esta interacción un nuevo elemento $c$, entonces $\phi(a)$ y $\phi(b)$ van a interactuar en $H$ exactamente como $\phi(c)$. Por ejemplo, vamos a considerar los grupos: Supongamos que $\cdot$ la operación es de $G$ y $*$ es de la operación de $H$. Entonces $a \cdot b = c$ implica $\phi(a) * \phi(b) = \phi(c)$, es decir, si $a$ y $b$ interactuar en una forma llamada $c$ de $G$, entonces $\phi(a)$ y $\phi(b)$ interactuar exactamente en la forma $\phi(c)$ en $H$.
Así que, para todos los intentos y propósitos, dos estructuras que son isomorfos son la misma estructura, aunque se pueda vivir en universos diferentes. Por ejemplo, tome el grupo de los enteros $\Bbb Z$ virtud de la adición, y considerar el conjunto $A = \left \{ \begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \mediados de c \in \Bbb Z \right \}$. En virtud de la suma de la matriz, $A$ a formar un grupo, y es en realidad isomorfo a $\Bbb Z$. Para ver esto, deje que $\phi : \Bbb Z \a$ ser el mapa de envío de $c \a \begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Entonces si $a, b \in \Bbb Z$, tenemos $a + b$ es enviada a $\phi(a + b) = \begin{bmatrix} a + b & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \phi(a) + \phi(b)$.
En otras palabras, si $a$ y $b$ interactuar como $a + b$, entonces $\phi(a)$ y $\phi(b)$ interactúan como $\phi(a + b)$ de modo que la estructura se conserva. Si se mira de lejos, los dos grupos tienen el mismo aspecto. El único problema es que uno es un conjunto de matrices y el otro es un conjunto de números enteros, por lo que no puede estrictamente dicen que son iguales. (Recuerda que para ser isomorfo, también necesita el mapa para ser un bijection -- a fin de comprobar por ti mismo que $\phi$ es un bijection; es un ejercicio fácil).
Ahora, cuando decimos algo como "sólo hay dos estructuras hasta el isomorfismo que hacer bla bla bla" lo que queremos decir es que si nos fijamos en cualquier estructura que hace "bla bla bla", es una garantía de que esta estructura se verá exactamente como una de las dos estructuras mencionadas en la declaración. Así diciendo: "sólo hay dos grupos de hasta isomorfismo de orden BLA" significa que si nos fijamos en cualquier grupo de orden BLA, que sólo puede tener uno de dos posibles estructuras. No hay una tercera estructura distinta que podemos encontrar. Así que si pensamos que de alguna manera sobre todos los grupos de orden BLA, la podemos dividir en dos conjuntos distintos, donde cada uno es el conjunto de grupos con la misma estructura.
