Si definimos $S$ como $S=\operatorname{Supp}f$ ya que $f=f\cdot\mathbb{1}_S$ , $$\widehat{f}=\widehat{f}*\widehat{\mathbb{1}}_S,\tag{1}$$ por lo que la transformada de Fourier de su identidad da: $$\left(\widehat{f}\cdot(1-\widehat{g})\right)*\widehat{\mathbb{1}}_S=0.\tag{2}$$ Por el teorema de Riemann-Lebesgue sabemos que $g\in L^p$ implica $\widehat{g}=o(1)$ por lo que, si la convolución con $\widehat{\mathbb{1}}_S$ es un mapa inyectivo, no hay soluciones para $(2)$ . De todos modos, podemos suponer que un $g$ que satisface la identidad dada se apoya en el conjunto $S-S$ que es simétrica en torno a cero (ver mis comentarios anteriores). Por lo tanto, tenemos que $f*g$ es compatible con $S+S-S$ y: $$ \widehat{f},\widehat{g}\in C^{\omega}.\tag{3}$$ (A continuación Tao sabemos mucho más: $\widehat{f}$ y $\widehat{g}$ son funciones enteras con un crecimiento a lo sumo exponencial) Por la fórmula de inversión: $$ \forall x\in S\qquad \int e^{i x\xi}\,\widehat{f}(\xi)\,\left(1-\widehat{g}(\xi)\right)\,d\xi = 0,\tag{4}$$ por lo que, al suponer que el interior de $S$ es no vacía, nosotros debe tener eso $\widehat{f}\cdot(1-\widehat{g})$ es casi siempre cero. Como $\widehat{f}\in C^{\omega}$ implica $\widehat{f}\neq 0$ casi en todas partes, $$ \widehat{g}=1\;\text{a.e.}\tag{5}$$ sigue, pero $(5)$ contradice el teorema de Riemann-Lebesgue.
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No está claro lo que pregunta.
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A mí me parece que está perfectamente claro. Dado un compacto soportado $C^{\infty}$ función $f$ probar o refutar la existencia de un $g\in L^p$ tal que la identidad se mantiene.
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Cabe destacar que si tal $g$ existe (aunque no lo crea) se puede definir en cualquier camino fuera de $\operatorname{Supp}(f)-\operatorname{Supp}(f)$ ya que los valores de $g$ en este conjunto nunca juegan en el LHS.