Hay una razón fundamental, no para definir el trabajo viceversa

Question

Mi pregunta surge de algo que en realidad nunca ha sido clara: en el continuum de la mecánica, ¿por qué es la energía de deformación se define como: $$W=\int_\Omega \underline{\underline{\sigma}}:\mathrm{d}\underline{\underline{\varepsilon}}$$ en lugar de $$W=\int_\Omega \underline{\underline{\varepsilon}}:\mathrm{d}\underline{\underline{\sigma}}$$

Creo que esta pregunta está estrechamente relacionada con un "más general" pregunta: que se de el trabajo de una fuerza, que se define por: $$W=\int_\mathcal{C} \underline{F}\cdot\mathrm{d}\underline{s}$$

¿Por qué nunca hablamos de la relación simétrica: $$W'=\int_\mathcal{C} \underline{s}\cdot\mathrm{d}\underline{F}$$

No estoy pidiendo explicaciones sobre el uso común de las definiciones, pero si hay una fundamental razón por la que su no se define el "revés".

Editar Adiciones a explicar por qué no es claro para mí: me Corrija si me equivoco: la energía puede ser visto como una forma lineal sobre las velocidades o desplazamientos (que viven en un espacio vectorial) para dar escalares llamado a las fuerzas (que viven en el doble espacio vectorial). Es correcto decir que esta relación puede ser "simétrico" para definir una forma lineal sobre las fuerzas para producir velocidades?

¿Por qué escribir $$W=\int Fv\,\mathrm{d}t = \int F\,\mathrm{d}s\qquad\text{ rather than}\quad =\int v\,\mathrm{d}G$$ where $G$ would be a primitive of $F$, as the displacement $s$ is the primitive of $v$?

Answer 1

La razón por la relación $$ W=\int\mathbf s\cdot d\mathbf F $$ no funciona es porque el Trabajo es definido como el resultado de una fuerza de $\mathbf F$ sobre un punto que se mueve a lo largo de una distancia. El punto sigue una curva de $\mathbf s$, con una velocidad de $\mathbf v$. La pequeña cantidad de trabajo, $\delta W$, que se produce de el instante de tiempo $dt$ es $$ \delta W=\mathbf F(\mathbf s)\cdot\mathbf v(\mathbf s)dt $$ La integración de ambos lados, $$ W=\int\mathbf F(\mathbf s)\cdot\mathbf v(\mathbf s)dt $$ desde $\mathbf v=d\mathbf s/dt$, esto es $$ W=\int\mathbf F(\mathbf s)\cdot\frac{d\mathbf s}{dt}dt\equiv\int\mathbf F(\mathbf s)\cdot d\mathbf s $$ Alternativamente, $\mathbf F=m\mathbf a$, por lo que esto nos daría $$ W=m\int \mathbf a\cdot\mathbf v\,dt $$ Desde $\mathbf a=d\mathbf v/dt$, esto es realmente $$ W=m\int d\mathbf v\cdot\mathbf v=\frac12mv^2 $$ lo cual nos trae de vuelta al trabajo-el teorema de la energía. Nota a pesar de que todavía no es $\mathbf v\cdot d\mathbf F$, es algo totalmente diferente.

Answer 2

Para empezar, estos no son la misma cosa. La integración por partes de la regla que hace que esta bastante obvio:

$$\int_i^f y\,\mathrm{d}x = y_f x_f - y_i x_i - \int_i^f x\,\mathrm{d}y$$

Pero entonces usted podría estar preguntándose lo que hace a $\int \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$ el "derecho" de la definición de trabajo, mientras que $\int \vec{s}\cdot\mathrm{d}\vec{F}$ es el "mal". En pocas palabras, el "malo" de la definición depende en gran medida de cómo se defina $\vec{s}$. Si usted acaba de dejar $\vec{s}$ ser la posición, entonces usted obtener diferentes resultados para $\int\vec{s}\cdot\mathrm{d}\vec{F}$ dependiendo de donde usted elige el origen de su sistema de coordenadas. La física no funcionan de esa manera. Por otro lado, $\int\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$ sólo implica las diferencias entre las coordenadas, y por lo tanto es independiente de donde se pone el origen.

Answer 3

Porque, de acuerdo a sus definiciones, si me lanzo una barra de goma con fuerza constante hasta que se separan, no he hecho un joule de trabajo.

Answer 4

Ya hay muchas buenas respuestas. Además del hecho de que la definición estándar de trabajo se relaciona directamente con el trabajo-el teorema de la energía y el concepto de energía potencial, aquí es un argumento geométrico.

I) La fuerza $F_i(x,v,t)$, $i\in\{1,2,3\},$ se transforma a medida $(0,1)$ co-vector

$$\tag{1} F_i ~=~\sum_{j=1}^3F^{\prime}_j \frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i} , \qquad i\in\{1,2,3\}, $$

bajo transformaciones de coordenadas espaciales

$$\tag{2} x^i~\longrightarrow x^{\prime j}~=~f^j(x). $$

Esto significa que

$$\tag{3} \mathbb{F}~=~\sum_{i=1}^3F_i ~\mathbb{d} x^i$$

es una forma, la cual es independiente de las coordenadas locales, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.

II) Por otro lado, tanto la cantidad

$$\tag{4} \sum_{i=1}^3x^iF_i\quad\text{and}\quad\sum_{i=1}^3x^i \mathbb{d}F_i$$

dependen del sistema de coordenadas. Por lo tanto geométricamente, normalmente no es tan util saber que la sola forma (3) puede ser escrita como

$$\etiqueta{5} \mathbb{F}~=~ \mathbb{d} \sum_{i=1}^3x^iF_i - \sum_{i=1}^3x^i \mathbb{d}F_i;$$

o, equivalentemente, cuando se integra a lo largo de una curva de $\gamma:[0,T]\to \mathbb{R}^3$, que el trabajo puede ser escrito como

$$W\tag{6} ~=~\int_{\gamma}\mathbb{F}~=~ \left[\sum_{i=1}^3x^i~F_i \right]_{t=0}^{t=T}-\int_{\gamma}\sum_{i=1}^3x^i \mathbb{d}F_i , $$

que es (menos) OP fórmula alternativa, hasta el límite de términos.