Cómo calcular el monstruoso $ \int_0^{\frac{e-1}{e}}{\frac{x(2-x)}{(1-x)}\frac{\log\left(\log\left(1+\frac{x^2}{2-2x}\right)\right)}{2-2x+x^2}dx} $

Question

Un amigo me dijo que había encontrado una forma cerrada para la siguiente integral: $$ \int_0^{\frac{e-1}{e}}{\frac{x(2-x)}{(1-x)}\frac{\log\left(\log\left(1+\frac{x^2}{2-2x}\right)\right)}{\left(2-2x+x^2\right)}dx} $$ No sé si me está tomando el pelo, pero me pregunto si esta integral admite una forma cerrada. He intentado expandir la $\log(\log)$ término en una serie de potencia, pero las cosas empeoraron. ¡Así que cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Obsérvese que tenemos $$\int_{0}^{\frac{e-1}{e}}\frac{x(2-x)}{1-x}\frac{\log\left(\log\left(1+\frac{x^2}{2-2x}\right)\right)}{2-2x+x^2}dx$$ $$=\int_{0}^{\frac{e-1}{e}}\frac{x(2-x)}{1-x}\frac{\log\left(\log\left(\frac{2-2x+x^2}{2-2x}\right)\right)}{2-2x+x^2}dx$$

Déjalo, $$\log\left(\frac{2-2x+x^2}{2-2x}\right)=u$$ $$\implies \frac{d}{dx}\left(\log\left(\frac{2-2x+x^2}{2-2x}\right)\right)=\frac{d}{dx}(u)$$ $$\frac{1}{\left(\frac{2-2x+x^2}{2-2x}\right)}\cdot \left(\frac{(2-2x)(-2+2x)-(2-2x+x^2)(-2)}{(2-2x)^2} \right)=\frac{du}{dx}$$ $$\left(\frac{2-2x}{2-2x+x^2}\right)\cdot \left(\frac{2x(2-x)}{(2-2x)^2} \right)=\frac{du}{dx}$$ $$\frac{x(2-x)}{(1-x)}\frac{1}{(2-2x+x^2)}dx=du$$ Ahora, tenemos $$\int_{0}^{\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)}\log(u)du$$

$$=\left[u\log(u)-u\right]_{0}^{\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)}$$ $$=\left[u\log\left(\frac{u}{e}\right)\right]_{0}^{\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)}$$

$$=\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)\cdot\log\left(\frac{1}{e}\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)\right)-\lim_{u\to 0}u\log\left(\frac{u}{e}\right)$$

$$=\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)\cdot\log\left(\frac{1}{e}\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)\right)-0$$

Por lo tanto, obtenemos

$$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{\int_{0}^{\frac{e-1}{e}}\frac{x(2-x)}{1-x}\frac{\log\left(\log\left(1+\frac{x^2}{2-2x}\right)\right)}{2-2x+x^2}dx}=\color{blue}{\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)\cdot \log\left(\frac{1}{e}\log\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)\right)}}$$

Answer 2

¡Aquí viene la ayuda! $$\mathcal{I}=(\varphi-1)\left(\ln(\varphi-1)-1\right)$$ $$\text{with}\qquad \varphi=\ln\left(\frac{1+e^{2}}{2}\right)$$ Namagiri está en llamas hoy.