¿La multiplicación no es simplemente la adición repetida?

Question

Si la multiplicación no es la adición repetida, ¿qué es? ¿Cómo defines la multiplicación?

Todos tuvimos que memorizar la tabla de multiplicar en la escuela primaria, pero ¿cómo la inventaron si tanta gente afirma que está mal pensar en ella como adición repetida?

¿Magia vudú?

Answer 1

Lo primero que debes considerar es que hay, en cierto sentido, diferentes "jerarquías" de números. En cada etapa, ampliamos la clase de números e intentamos hacerlo de una manera que deje todo lo que podíamos hacer antes igual, pero que ahora podemos hacer más.

Una forma común de hacer esto es comenzar con los números naturales (a veces llamados "números de conteo" o enteros positivos). Comenzamos con $1$, $2$, $3,\ldots$.

Aquí, sí definimos la multiplicación como la adición repetida. Por ejemplo, una forma de definir la multiplicación es asumir que sabemos cómo sumar, y luego definirla diciendo: $$\begin{align*} n\times 1 &= n\\ n\times (k+1) &= (n\times k) + n % need to edit at least 6 characters \end{align*}$$ Usando inducción matemática, podemos mostrar que esto define la multiplicación para todos los enteros positivos y que tiene las propiedades habituales que conocemos (conmutativa, de modo que $n\times k = k\times n$ para todos los enteros positivos $n$ y $k$, se distribuye sobre la suma, es asociativa, etc).

Luego tenemos dos opciones para "expandir nuestro universo de números": ahora podemos definir los enteros negativos, considerando cosas que nos ayudarían a resolver todas las ecuaciones de la forma $a+x=b$ con $a$ y $b$ enteros positivos; o podemos introducir racionales positivos (fracciones) considerando todas las cosas que nos ayudarían a resolver todas las ecuaciones de la forma $ax = b$. Optemos por lo último, ya que eso sucedió primero históricamente.

Entonces, teníamos los enteros positivos, y sabíamos cómo sumarlos y multiplicarlos. Ahora vamos a tener más números: ahora, para cada par de enteros positivos $a$ y $b$, tendremos un número "$\frac{a}{b}$", que es un número que satisface la propiedad de que $$b\times\left(\frac{a}{b}\right) = a.$$ También decimos que $\frac{a}{b}$ es "la misma fracción" que $\frac{c}{d}$ si y solo si $ad=bc$ (aquí estamos comparando productos de enteros positivos, por lo que está bien).

También notamos que nuestros viejos enteros positivos también pueden considerarse fracciones: el entero positivo $a$ es una solución a $1x = a$, por lo que $a$ corresponde a la fracción $\frac{a}{1}$.

¿Cómo sumamos dos de estos números? Dado que $\frac{a}{b}$ representa la solución a $bx=a$, y $\frac{r}{s}$ representa la solución a $sx=r$, entonces $\frac{a}{b}+\frac{r}{s}$ representa la solución a algo; ¿a qué? Un poco de álgebra te dirá que es la solución precisamente a $(bs)x = (as+br)$. Así que definimos $$\frac{a}{b}+\frac{r}{s} = \frac{as+br}{bs}.$$ Se necesita un poco de trabajo para asegurar que si escribes las fracciones de manera diferente, la respuesta sea la misma (si $\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$, y si $\frac{t}{u}=\frac{r}{s}$, ¿es $\frac{cu+td}{du} = \frac{as+br}{bs}$? Sí). Y también notamos que si sumamos enteros positivos como si fueran fracciones, obtenemos la misma respuesta que antes: $$\frac{a}{1} + \frac{c}{1} = \frac{a1+c1}{1} = \frac{a+c}{1}.$$ Eso es bueno; significa que estamos ampliando nuestro universo, no cambiándolo.

¿Y los productos? Si $\frac{a}{b}$ representa la solución a $bx=a$, y $\frac{r}{s}$ representa la solución a $sy=r$, su producto será la solución a $(bs)z = ar$. Así que definimos $$\frac{a}{b}\times\frac{r}{s} = \frac{ar}{bs}.$$ Luego notamos que extiende la definición de multiplicación para enteros, ya que $\frac{a}{1}\times\frac{b}{1} = \frac{a\times b}{1}$. Y verificamos que la multiplicación y la suma siguen teniendo las propiedades que deseamos (conmutatividad, asociatividad, etc).

(Hay otras formas de averiguar qué debería ser la multiplicación de fracciones, basado en lo que queremos que haga. Por ejemplo, queremos que la multiplicación extienda la multiplicación de enteros, por lo que $\frac{a}{1}\times\frac{b}{1}$ debería ser $\frac{ab}{1}$; y queremos que se distribuya sobre la suma, por lo que queremos que $$\frac{a}{1} = \frac{a}{1}\times \frac{1}{1} = \frac{a}{1}\times\left(\underbrace{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\cdots+\frac{1}{b}}_{b\text{ sumandos}}\right) = \underbrace{\left(\frac{a}{1}\times\frac{1}{b}\right) + \cdots + \left(\frac{a}{1}\times\frac{1}{b}\right)}_{b\text{ sumandos}}.$$ Entonces $\frac{a}{1}\times \frac{1}{b}$ debería ser una fracción que, cuando se sume consigo misma $b$ veces, iguale a $a$; es decir, una solución a $bx=a$; es decir, $\frac{a}{b}$. Y así sucesivamente).

Luego pasamos de los racionales positivos (fracciones) a los reales positivos. Esto es más complicado, ya que implica "llenar espacios" entre los racionales. Es muy técnico. Pero resulta que para cada número real puedes encontrar una secuencia de racionales $q_1,q_2,q_3,\ldots$ que se acercan progresivamente entre sí y a $r$ (decimos que la secuencia "converge a $r$"); no dolerá demasiado si piensas en los $q_i$ como aproximaciones decimales progresivas a $r$ (no tienen por qué serlo, y de antemano no tienes ninguna noción de aproximación decimal, pero puedes pensar de esa manera para nuestro propósito). Entonces, la forma en que definimos la multiplicación de números reales $r$ y $s$ es encontrar una secuencia de racionales $q_1,q_2,q_3,\ldots$ que dé la aproximación a $r$ y una $p_1,p_2,p_3,\ldots$ que dé la aproximación a $s$, y definimos $r\times s$ como lo que sea que la secuencia $$p_1\times q_1,\ p_2\times q_2,\ p_3\times q_3,\ \ldots$$ aproxima. Esto asegura que si tomas números racionales y los multiplicas como si fueran reales, obtienes lo mismo que si los multiplicas como racionales, y viceversa para los enteros.

Entonces, la multiplicación de reales positivos es realmente una serie de aproximaciones compuestas por la multiplicación de racionales; y la multiplicación de racionales es realmente una forma de codificar soluciones a ciertas ecuaciones con enteros; y es solo la multiplicación de (enteros) positivos la que realmente corresponde a "adición repetida".

Por último, una vez que tienes los números reales positivos, puedes introducir los números reales negativos. Consideramos soluciones a ecuaciones de la forma $a+x=b$ con $a$ y $b$ números reales positivos. Algunas de estas ya tienen soluciones, otras no. Esto nos da "cero" y los "reales negativos". Luego extendemos la definición de multiplicación a "cero" y a "los reales negativos" de una manera que tenga sentido en relación con esta definición. Resulta que necesitamos hacer $0\times r = 0$ para todo $r$, y respetar las "reglas de los signos" para asegurarnos de que todo siga funcionando. Así que lo definimos de esa manera para asegurarnos de que todo funcione y de que lo que teníamos antes siga funcionando exactamente igual.

Answer 2

Por sugerencia de Willie Wong, publico mi comentario como respuesta.

En los últimos años, Keith Devlin ha escrito varios artículos en el sitio de la MAA explicando por qué cree que es una mala idea introducir la multiplicación a los niños como una adición repetida. Ver esto y los otros ensayos citados allí.

Answer 3

La multiplicación de números enteros está definida como una suma repetida. Sin embargo, esto no nos ayuda a definir la multiplicación por un número negativo, o un número racional, o cualquier otra cosa -- no puedes sumar tres consigo mismo menos cuatro veces, o la mitad de una vez. Esto significa que tenemos que comenzar desde la multiplicación de números enteros y luego "rellenar los vacíos" para definir la multiplicación para clases más grandes de números.

Answer 4

Di una larga respuesta a esta pregunta como parte de una respuesta a otra pregunta. El punto básico que quiero transmitir es que la adición repetida no se generaliza de la misma manera que la multiplicación se generaliza; por ejemplo, sería difícil pensar en la multiplicación de números complejos o matrices como una adición repetida. Eso se debe a que en realidad son composiciones de funciones.

En particular, la multiplicación de números reales es (en mi opinión) mejor pensada como composiciones de escalados de la recta real. Esto se generaliza inmediatamente a la multiplicación de números complejos, que son composiciones de escalados y rotaciones del plano.

(Otro punto que quiero transmitir es que es completamente innecesario, incluso al tratar con números naturales, definir la multiplicación como una adición repetida.)

Answer 5

Me gusta mirar las fuentes geométricas originales: Un número no negativo es la longitud de un segmento de línea, la suma de dos números es la combinación de las longitudes de los segmentos, y el producto es el área del rectángulo con los segmentos como lados. Sé que esto tiene sus problemas (es sorprendentemente difícil obtener los enteros de los reales), pero me gusta mirar las cosas desde diferentes puntos de vista.