Cuando es una métrica de Riemann equivalente a la plana métrica en $\mathbb R^n$?

Question

Estoy buscando una manera fácil de analizar, condición local en un $n$-dimensiones de Riemann colector para determinar si los pequeños barrios son isométrica a los barrios en $\mathbb R^n$. Por ejemplo, para $n=1$, a la de Riemann colectores están modelados $\mathbb R$. Al $n=2$, creo que es suficiente para el escalar de curvatura para desaparecer en todas partes (esto es, sin duda necesario). Pero mi intuición es escasa para la de mayores dimensiones de las estructuras.

Dicho de otra manera: dada una estructura de Riemann $g$ sobre una suave colector, cuando puedo encontrar las coordenadas de $x^1,\dots,x^n$, de modo que $g_{ij}(x) = \delta_{ij}$?

Answer 1

Si la métrica de Riemann es dos veces diferenciable en algún sistema de coordenadas, entonces esto se aplica en cualquier dimensión, si y sólo si la curvatura de Riemann tensor se desvanece de forma idéntica.

En la dimensión 2, es suficiente para que el escalar de curvatura a desaparecer. En la dimensión 3, es suficiente para la curvatura de Ricci a desaparecer. En las dimensiones superiores, usted necesita tener el pleno de la curvatura de Riemann se desvanecen.

Answer 2

Deane ya respondió a la pregunta. Solo quiero añadir que a sabiendas de la existencia de locales de plano de coordenadas (por la fuga de la curvatura) y en realidad encontrar el plano de coordenadas son dos cosas muy diferentes. He tenido la "diversión" en el pasado encontrar explícita plano de coordenadas planas métricas y puede ser no trivial, aunque muy satisfactorio cuando se trabaja a ellos!

Answer 3

Greg comentario en Deane la respuesta es correcta (dadas las hipótesis apropiadas), pero tal vez un poco engañoso, en el contexto de esta discusión. Dado que el número de caracteres no lo permite, voy a agregar este comentario como una "respuesta" (aunque no es una respuesta a la pregunta original).

Hay no isométrica 2-esferas $S_1,S_2$, para los que hay un diffeomorphism $f$$S_1$$S_2$, de modo que la curvatura en cada punto de $p \in S_1$ es igual a la curvatura de $f(p)$$S_2$. Por ejemplo, supongamos $O$ ser una curva en el plano con un diedro $D_2$ simetría cuya curvatura tiene 4 puntos críticos (es este llamado "oval"? Se me olvida). Si $S$ es una superficie de revolución de $O$, $S$ es foliada (en el complemento de los dos "polos") por "latitud" círculos de curvatura constante, y el valor de la curvatura se mueve monótonamente entre dos valores extremos como uno pasa de los "polos" para el "ecuador". Uno puede fácilmente producir nonisometric superficies con "el mismo", la curvatura de la función. La longitud de la circunferencia con una determinada curvatura de valor es un invariante de la isometría tipo que no es capturado por la curvatura de la misma (el pensamiento de lo más suave de la función en $S$).

Creo que este ejemplo (y más discusión) está en Berger del libro "Una vista panorámica de la geometría de Riemann".

Answer 4

Esto es sólo una reformulación de Deane la respuesta, pero me permito añadir un comentario general. Para cualquier métrica de Riemann (o pseudo-métrica de Riemann) $g$ en un colector $M$, se puede asociar un Levi-Civita de conexión de $\nabla : T_M \to T_M \otimes \Omega_M$ donde $T_M$ es la cotangente gavilla y $\Omega_M$ es la cotangente gavilla. Justo como el de Rham $d : \mathcal{O}_M \to \Omega_M$ puede ser extendido a $d : \Omega_M^i \to \Omega_M^{i+1}$, la conexión de $\nabla : T_M \to T_M \otimes \Omega_M$ puede ser extendido a $\nabla : T_M \otimes \Omega_M^i \to T_m \otimes \Omega_M^{i+1}$.

A continuación, ser capaz de encontrar las coordenadas locales $x_i$ tal que $g_{ij} = \delta_{ij}$ es equivalente a $\nabla^2 = \nabla \circ \nabla : T_M \to T_M \otimes \Omega_M^2$, que corresponde a la curvatura de Riemann tensor que Deane menciona, siendo cero. Esta debe ser una reminiscencia de la $d^2 = 0$ de de Rham cohomology, o álgebra homológica en general... ;-)

Tal vez no sea tan estándar (o no tan estándar como me gustaría) para hablar acerca de las conexiones en términos de las poleas, pero este punto de vista es mejor porque se generaliza mejor. Lo he dicho anteriormente funciona en todos los de la "norma" geométrica categorías: $C^\infty$, real analítica, complejo analítica, super, etc. (Tal vez incluso funciona en el algebraicas categoría? Pero no estoy seguro de que, como la noción de coordenadas locales es más complicado en la geometría algebraica.)