0) Deje $V$ a (finito-dimensional) espacio vectorial real. Un $(1, 1)$-tensor de más de $V$ es cualquiera de los siguientes objetos equivalentes:
- Una transformación lineal $V \to V$,
- Un elemento de $V^{\ast} \otimes V$,
- Lineal en el mapa de $V \otimes V^{\ast} \to \mathbb{R}$.
El isomorfismo entre estas tres imágenes proviene de la definición de la doble y la universal de la propiedad del producto tensor. Una transformación lineal es un objeto de tal manera que, cuando la fuente es un elemento de $V$, se obtiene un elemento de $V$. Así que si usted alimenta a un elemento de $V$ y un elemento de $V^{\ast}$, luego por el doble de emparejamiento (tensor de la contracción), se obtiene un elemento de $\mathbb{R}$. Explícitamente, si $f : V \to V$ es una transformación lineal, entonces
$$\langle f(v), w^{\ast} \rangle : V \times V^{\ast} \to \mathbb{R}$$
es bilineal (donde $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denota el doble de emparejamiento), y cada bilineal mapa puede ser el único escrito de este modo. A continuación, se utiliza la característica universal del producto tensor. Que le da la identificación con la tercera imagen. La identificación con la segunda imagen viene del hecho de que la doble distribuye más de producto tensor (lo que de nuevo viene a ser el tensor de la contracción) y el hecho de que $V^{\ast \ast} \simeq V$. Alternativamente, otra vez por el tensor de la contracción, hay una natural bilineal mapa de $V \times (V^{\ast} \otimes V) \to V$ que identifica un elemento de $V^{\ast} \otimes V$ con una transformación lineal $V \to V$.
Usted consigue el "explícito" de la versión de todas estas imágenes mediante la toma de una base $e_1, ... e_n$ $V$ y la correspondiente base dual $e_1^{\ast}, ... e_n^{\ast}$$V^{\ast}$. Estos definen las bases de cada espacio de $(m, n)$-tensor (multiplica). En particular, el espacio de $(1, 1)$-tensores tiene base $e_i^{\ast} \otimes e_j, 1 \le i, j \le n$. Escribir un $(1, 1)$-tensor en base a esto corresponde exactamente a la escritura de una transformación lineal como una matriz cuadrada.
1) no lo Es. Si por $\text{Alt}^p(V)$ que significa el espacio de la alternancia $p$-lineal mapas de $V^p \to \mathbb{R}$, esto es naturalmente isomorfo a $\Lambda^p (V^{\ast})$ donde $V^{\ast}$ es el espacio dual a $V$ (el espacio de lineal mapas de $V \to \mathbb{R}$). Usted no puede identificar a $V$ con su doble sin, digamos, un producto interior. Para ver el isomorfismo, $(V^{\ast})^{\otimes p}$, naturalmente, puede ser identificado con el espacio de todas las $p$-lineal mapas de $V^p \to \mathbb{R}$, más o menos, por definición, de la doble espacio y producto tensor, y tomando el subespacio de la alternancia de los mapas en una sola imagen corresponde a tomar el cociente en el otro. Usted puede hacer esto realmente explícito por escrito de base para ambos espacios, si quieres.
2) Este es el tensor de la contracción. Localmente un $p$-forma es la misma cosa como una alternancia de $p$-lineal mapa de $V^p \to \mathbb{R}$ donde $V$ es el espacio de la tangente, y por la característica universal de la potencia exterior es la misma cosa que un lineal mapa de $\Lambda^p V \to \mathbb{R}$. Y un $p$-vector es la misma como un elemento de $\Lambda^p V$. Así que el natural de doble emparejamiento (tensor de la contracción) entra en juego.
