Encontrar el número de conjuntos de $(a,b,c)$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{29}{72}$

Question

Si $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{29}{72},\ \ c<b<a<60,\ \ \{a,b,c\}\in\mathbb{N} $.

¿Cuántos conjuntos de $(a,b,c)$ existe ?

Opciones

$a.)\ 3 \quad \quad \quad \quad \quad b.)\ 4 \\ c.)\ 5 \quad \quad \quad \quad \quad \color{verde}{d.)\ 6} \\ $

por ensayo y error he encontrado

$$\begin{array}{c|c} 2 & 72 \\ \hline 2 &36 \\ \hline 2 &18 \\ \hline 3 &9 \\ \hline 3 &3 \\ \hline &1\\ \end{array}$$

$\\~\\~\\$

$$\dfrac{29}{72}=\dfrac{18}{72}+\dfrac{9}{72}+\dfrac{2}{72}= \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\\~\\ \implica (a,b,c)=(36,8,4)$$

Esta pregunta es de un capítulo de ecuaciones cuadráticas.

Busco una breve y sencilla.

He estudiado matemáticas a a $12$th grado.

Answer 1

En este tipo de problema, tienes que ir a través de los casos, por lo general en el extremo de las variables.

Inicialmente, $\dfrac{1}{c} < \dfrac{29}{72}$, así $c > \dfrac{72}{29} =2+\dfrac{14}{29} $, por lo $c \ge 3$.

En la otra dirección, desde $\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a} < \dfrac{3}{c} $, $\dfrac{3}{c} > \dfrac{29}{72}$ o $c < \dfrac{216}{29} $ o $c \le 7$.

Mirando a $a$, $\dfrac{3}{a} < \dfrac{29}{72}$, o $a \ge 8$.

Para cada una de las $3 \le c \le 7$, calcular $d =\dfrac{72}{29}-\dfrac{1}{c} $. Entonces $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} = d$, así $\dfrac{2}{a} < d < \dfrac{2}{b}$ o $c+1 \le b < \dfrac{2}{d}$.

Para cada una de las $c+1 \le b < \dfrac{2}{d}$, calcular $\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{b}$ y a ver si es de la forma $\dfrac{1}{a}$ para $a > b$.

Voy a dejar el cálculo en sí para usted.

Answer 2

Esto no puede hacerse sin un poco torpe búsqueda. El objetivo, entonces, es mantener el número de casos para comprobar tan pequeño como sea posible.

Estamos buscando entero de soluciones de $${1\over a}+{1\over b}+{1\over c}={29\over72}$$ con $1\leq c<b<a$.

Las condiciones $${1\over c}<{29\over 72},\qquad{1\over c}+{1\over c+1}+{1\over c+2}\geq{29\over 72}$$ implican $3\leq c\leq 6$.

Dado $c$ en este rango, poner $$q:={29\over 72}-{1\over c}\ .$$ entonces Tenemos que resolver $${1\over a}+{1\over b}=q\ .$$ Las condiciones para $b$ $$b>c,\qquad {1\over b}<q, \qquad {1\over b}>{q\over2}\ ,$$ el tercero de estos con el fin de garantizar la $a>b$. Esto obliga a $$\max\left\{{1\over q},c\right\}<b<{2\over q}\ .$$ Dado $b$ en este rango tenemos que comprobar si el resultado $$ a={b\over bq-1}$$ es un entero. Si sí, aceptamos la triple $(a,b,c)$. Mathematica encontrado $7$ tal triples, tres de los cuales violado la condición adicional $a<60$. Aquí está el resultado: