Aparente violación de la ley de Newton $3^{\text{rd}}$ Ley y conservación del momento (y del momento angular) para un par de partículas cargadas

Question

Considere un sistema de dos cargas puntuales positivas idénticas situadas en el espacio libre (aisladas de la influencia de cualquier otro campo externo) como se muestra en el diagrama adjunto. Partícula $1$ está en $(a,a,0)$ y la partícula $2$ está en $(0,a,0)$ . Sus velocidades, en el instante de tiempo considerado, son las indicadas en el diagrama ( $\mathbf{v}_1$ a lo largo del $+x$ eje, $\mathbf{v}_2$ a lo largo del $+z$ eje).

Ahora, aplicando la ley de Biot-Savart, encontramos que el campo magnético debido a la partícula $2$ en la posición de la partícula $1$ es a lo largo de $+y$ eje, lo que significa que la fuerza que actúa sobre la partícula $1$ es a lo largo de $+z$ eje según la regla de la mano izquierda de Fleming. Un análisis similar muestra que no hay fuerza magnética sobre la partícula $2$ como el campo magnético de la partícula $1$ debe desaparecer en las posiciones (relativas a la partícula $1$ ) situado a lo largo de su vector de velocidad.

Ahora, si observamos el par neto en el sistema de dos partículas alrededor de la $y$ entonces es distinto de cero y está dirigido a lo largo del eje $-y$ eje. En este caso, no hay fuerzas o pares externos que actúen sobre el sistema aislado de dos partículas y, sin embargo, el par neto, así como la fuerza neta sobre las partículas, son distintos de cero. ¿Por qué? Además, la tercera ley del movimiento de Newton parece romperse en este escenario. ¿Por qué?

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Editar $1$

He llegado a saber por las respuestas que el propio campo electromagnético quita algo de momento y momento angular alrededor del eje considerado. Sin embargo, creo que si considero sólo dos partículas cargadas como mi sistema, entonces se puede suponer que la fuerza de Abraham-Lorentz actúa sobre el sistema, y eso es suficiente para asegurarse de que hemos considerado el momento que se lleva el campo electromagnético en sí.

Incluso después de considerar la acción de la fuerza de Abraham-Lorentz para el sistema de dos partículas, el escenario rompe tanto la tercera ley de Newton como la conservación del momento lineal y angular. Esto se debe a que las fuerzas de Abraham Lorentz no contrarrestan exactamente la fuerza y los pares, en el sistema de dos partículas considerado, debidos al campo magnético.

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Editar $2$

La edición anterior fue el resultado de una confusión y un malentendido por mi parte. La fuerza asociada al momento arrastrado por el campo electromagnético como resultado de la interacción electromagnética descrita en la pregunta es la propia fuerza de Lorentz, que simplemente no obedece a la tercera ley del movimiento. La fuerza de Abraham-Lorentz es una historia diferente. Está asociada al momento que se lleva la radiación emitida por las partículas cargadas aceleradas. Se trata de una fuerza adicional, aparte de la fuerza de Lorentz, que corresponde a un transporte adicional del momento por el campo electromagnético. El momento transportado por el campo electromagnético en correspondencia con la fuerza de Lorentz no corresponde a la radiación.

Answer 1

Tienes razón en tu afirmación de que los pares de partículas puntuales cargadas pueden interactuar magnéticamente en formas que aparentemente violan la regla 3 de Newton rd ley, y por lo tanto también parecen violar la conservación del momento lineal y angular. Este es un resultado fundamental y es el experimento (mental) decisivo que nos obliga a cambiar nuestro punto de vista sobre la electrodinámica de algo así como

las partículas cargadas interactúan entre sí

a uno basado en el campo que dice

las partículas cargadas interactúan con el campo electromagnético.

Lo que esto significa, y el punto clave aquí, es que

• el campo electromagnético debe considerarse como una entidad dinámica propia, a la par de las partículas materiales, y puede tener energía, momento y momento angular propios.

El momento lineal y angular del sistema dinámico completo, que incluye las partículas y el campo, se conserva efectivamente. Esto significa que en una situación como la de tu diagrama, en la que hay una fuerza y un par netos en el lado mecánico del sistema (es decir, las partículas), hay fuerzas y pares netos correspondientes y opuestos en el campo electromagnético.

Entonces, ¿cuánto momento lineal y angular hay? Esto es una pieza sólida de la electrodinámica clásica: estos momentos están "almacenados" en todo el espacio, con densidades $$ \mathbf g =\epsilon_0 \mathbf E\times\mathbf B $$ y $$ \mathbf j =\epsilon_0\mathbf r\times\left( \mathbf E\times\mathbf B\right), $$ respectivamente. Una vez que se tienen en cuenta, se deduce de las ecuaciones de Maxwell y de la fuerza de Lorentz que, para un sistema aislado, los momentos totales se conservan. Los detalles del cálculo son un poco confusos, y también lo son las leyes de conservación reales; di una buena derivación del momento lineal en esta respuesta .

Answer 2

Quiero dar una respuesta para el caso de que las partículas mencionadas sean electrones. Consideremos que los momentos dipolares magnéticos de estos dos electrones están alineados en una línea recta que pasa por los puntos (0,a,0) y (a,a,0). Como ambos electrones se mueven, sus momentos de dipolo magnético comienzan a girar cuando los electrones salen de los puntos mencionados.

¿Quizás no sea necesario y quizás no esté permitido aplicar las leyes de los objetos macroscópicos a las partículas? El fenómeno que sufren los electrones es evidente. Cualquier cambio de la dirección del momento dipolar magnético cambia también la dirección del espín intrínseco de los electrones. Como es sabido, esto provoca una desviación en la trayectoria del electrón. Este es uno de los resultados de la interacción entre estos electrones.

Un segundo resultado de la interacción entre estos electrones es que cualquier desviación de un electrón es una aceleración y esto llevó a la emisión de fotones. La velocidad de los electrones disminuye.

Un tercer resultado de su interacción se basa en que se repelen entre sí debido a las cargas eléctricas negativas. Esto lleva a la desviación y a la emisión de fotones también. Y hay una diferencia entre la desviación inducida por el magnetismo y la desviación eléctrica. La fuerza inducida eléctrica actúa en el plano que abarca las dos velocidades, la fuerza inducida magnética actúa perpendicularmente a este plano.

Esta no es una respuesta completa, pero muestra por qué

El propio campo electromagnético quita algo de impulso y momento de impulso.

Answer 3

La ley de fuerza de Lorentz describe adecuadamente la aceleración de las cargas puntuales. Por lo tanto, nos encontramos ante una paradoja y es erróneo plantear la hipótesis de que el campo arrastra o aporta momento.

La solución está en la interpretación de la ley de fuerza de Lorentz. Como la fuerza eléctrica sí conserva el momento, ya que las fuerzas sobre las cargas son opuestas e iguales en tamaño, me concentraré en la parte magnética $f_B = q \vec v \times \vec B = q \vec v \times \vec \nabla \times \vec A$ . Escribir en componentes es más fácil, así que $f_{Bi} = d(mv_i)/dt = q v_j \partial_j A_i - q v_j \partial_i A_j$ . Esto se puede escribir como $f_{i} = d \left(mv_i - qA_i \right)/dt = - q v_j \partial_i A_j$ . Se puede comprobar fácilmente que $m \vec v - q \vec A$ se conserva.

La conclusión es que el momento total consiste en una contribución cinética, $m v_i$ y una posible contribución, $-q\vec A$ en presencia del electromagnetismo.

Answer 4

El momento de la radiación sin masa no es suficiente para considerar la ley de fuerza de Lorentz de acuerdo con la conservación del momento. El momento de la radiación es despreciable para situaciones magnetostáticas, y la ley de fuerza de Lorentz viola el tercer principio de movimiento de Newton también para corrientes magnetostáticas no cerradas en sí mismas . Por lo tanto, la respuesta anterior es incorrecta.

Todos los libros de texto definen la magnetostática como la física de las corrientes eléctricas de "bucle cerrado" (de modo que la fuerza de Lorentz no viola la tercera ley de Newton), que no se basa en experimentos. Esta definición es engañosa y oculta la incoherencia de la ley de fuerza de Lorentz con la mecánica clásica.

A menudo se sugiere que "los campos tienen impulso". Esto no es cierto. Sólo un flujo de energía de Poynting representa el impulso, según la teoría de la electrodinámica clásica (véase el teorema de la potencia habitual de CED). Es muy poco probable que las pérdidas óhmicas por "radiación de calor" en los circuitos de corriente estacionaria compensen la violación de la fuerza de Lorentz del tercer principio de movimiento de Newton, de manera que el impulso se conserve.

En segundo lugar, el flujo de Poynting "no radiativo" en los circuitos de corriente estacionarios no cambia en el tiempo (también es estacionario), de modo que no contribuye al cambio de momento.

Mi conclusión es la siguiente: necesitamos que la ley de fuerza de Whittaker sustituya a la ley de fuerza de Grassmann (que es un caso especial de la ley de fuerza de Lorentz, para corrientes estacionarias en circuitos) para definir una teoría electrodinámica coherente con la mecánica clásica, ya que la ley de fuerza de Whittaker obedece a la tercera ley del movimiento de Newton. Esto significa que la teoría de Maxwell-Lorentz es incoherente con la mecánica clásica, y debe ser sustituida por una consistente teoría, véase http://philpapers.org/archive/VANGCE-2.pdf

Answer 5

Llevo mucho tiempo buscando una respuesta satisfactoria a esta pregunta. La explicación del momento proporcionada por Pisanty es excelente para demostrar que la tercera ley de Netwon es válida, pero no explica cómo. nos dice que con seguridad la tercera ley de Netwon es correcta porque las ecuaciones del momento indican que la fuerza opuesta existe y debe estar allí en el sistema, el momento se conserva, pero no explica cómo existe esta fuerza opuesta, su naturaleza y por qué no aparece en algunos casos para la fuerza magnética que creo que fue la razón detrás de esta pregunta. La explicación del momento suele dar afirmaciones generales al respecto como "hay fuerzas y pares netos correspondientes y opuestos en el campo electromagnético" y esto no me satisface.

Hace unos meses me encontré con un trabajo que explica cómo existen estas fuerzas opuestas y por qué no aparecen en algunos casos y me resultó satisfactorio. Shadid en su trabajo "Dos nuevas teorías para la relatividad de la carga de corriente y el origen eléctrico de la fuerza magnética" proporcionó una explicación exitosa y probada a la fuerza magnética como puramente electrostática a través de un cuidadoso análisis para el patrón de campo eléctrico de propagación en el espacio para las cargas positivas y negativas en movimiento en los elementos de corriente. La fuerza magnética se explica como resultado de la interacción eléctrica entre las cargas de corriente y las cargas en lugares de discontinuidad donde el campo eléctrico cambia de positivo a negativo y de negativo a positivo debido al cambio de lugares entre las cargas positivas y negativas en movimiento en un elemento de corriente. Estas cargas de discontinuidad rodean los elementos de corriente y se producen cuando las cargas se mueven para llevar a cabo los cambios de campo eléctrico en el espacio. La existencia de estas cargas de discontinuidad se demuestra utilizando la ley de Gauss y se explica por los fotones que viajan para indicar los cambios en el campo eléctrico, estos fotones se suponen cargados como se supone en el trabajo de Altschul "Bound on the photon charge from the phase coherence of extragalactic radiation".

Las cargas eléctricas en movimiento de los elementos de corriente interactúan entre sí a través de las cargas de discontinuidad, ya que los elementos de corriente son eléctricamente neutros. La fuerza eléctrica entre una carga de corriente y una carga de discontinuidad obedece a la tercera ley de Newton, como en la ley de Coulomb. Las fuerzas ejercidas sobre las cargas de corriente permiten que éstas produzcan una fuerza neta distinta de cero o nula sobre el elemento de corriente infinitesimal que las contiene. Esta fuerza neta sobre el elemento de corriente es la fuerza magnética observada. La fuerza neta producida es distinta de cero en el elemento de corriente cuando las cargas positivas y negativas empujan el elemento de corriente en la misma dirección. El empuje se produce cuando las fuerzas ejercidas son perpendiculares a la dirección de movimiento de las cargas y no se les permite moverse fuera del elemento de corriente filamentoso que las contiene, mientras que son libres de moverse a lo largo de dicho elemento. Obsérvese que la interacción de empuje entre las cargas de corriente y el elemento de corriente que las contiene obedece a la tercera ley de Newton como en la interacción de partículas. Sin embargo, la fuerza neta es nula cuando estas cargas empujan el elemento de corriente en direcciones opuestas, anulándose mutuamente, o cuando las fuerzas ejercidas sobre las cargas de corriente son completamente a lo largo de la dirección de movimiento de las cargas, por lo que no se produce ninguna fuerza de empuje sobre el elemento de corriente que las contiene. Esta explicación se demostró derivando la ley exacta de la fuerza magnética y la ley de Biot-Savart utilizando la base de las fuerzas eléctricas como se especifica en la teoría electromagnética.

Los detalles de la prueba y el cálculo son un poco largos; he dado un breve resumen de ello. Los detalles se pueden encontrar en http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=7546893