¿Por qué son los números complejos considera los números?

Question

He tenido Dave Curso Corto sobre los Números Complejos en la web desde 1999, y me gustaría añadir una página sobre el por qué de los números complejos son (o deberían ser) considera los números. Estoy más frecuentes de que se trate.

Esta no es una pregunta acerca de la existencia o la utilidad de los números complejos como los que existen como entidades matemáticas y que son muy útiles. Es una pregunta acerca de lo que hace números. Podría ser ampliado para pedir lo que constituye números, pero estoy especialmente interesado en los números complejos.

Quizás es sólo histórico y sociológico, pero estoy esperando una respuesta de que hay algo intrínseco acerca de los números complejos que los hace encajar en la categoría de número.

Answer 1

Tienes razón, la pregunta es la más importante "¿qué es un número", entonces usted va a ver que los números complejos son los números. Sobre todo porque la palabra "número" no tiene un significado claro en matemáticas, o incluso en el lenguaje natural de las personas.

Los números son nociones que representan la cantidad. Así que la pregunta es, ¿qué tipo de cantidad hacer números complejos medida? Tienen más de un puñado de aplicaciones que se usan para medir cantidades, que parece intrínseca suficiente para empezar.

Supongo que es probable que haya histórico-sociológica de la razón, pero si usted está buscando una "propiedad intrínseca", esa sería la mejor definición de "número" que se me ocurre, y de hecho los números complejos satisfacen.

Answer 2

Mi mejor entendimiento es que es sólo un accidente histórico que los números complejos terminó siendo llamado "números".

Históricamente, cada extensión de la "número" es un concepto que, desde los naturales a los racionales a los reales, y a la negativa versiones -- ha chocado con la resistencia que es necesario superar. (Utilizado para discutir si es o no $1$ es un "número", porque los pasajes pertinentes de Euclides se puede leer como diciendo que sólo una multitud de unidades es un número).

Y la fuerza impulsora que superó la resistencia hacia un nuevo tipo de números no parecen haber sido que cumplen con alguna de las pre-existentes estándar de lo que es un "número" debe ser, sino simplemente que hay una percepción de que necesitaban ser llamados "números" antes de que nadie pudiese hacer matemáticas con ellos.

Algún tiempo después de los números complejos ganó la aceptación, se convirtió comúnmente aceptada para las nuevas ramas de las matemáticas para considerar las cosas que fueron ni los números ni los objetos geométricos. Una vez que pasó, no hubo ninguna presión para insistir en que las nuevas cosas que usted quiere razonar sobre necesariamente son "números".

Esto pudo haber sucedido en algún otro momento de la historia, y nos podría haber terminado teniendo en cuenta, por ejemplo, los vectores y las matrices para ser un tipo especial de "número".

Answer 3

Los números de contar o medir, pero los números complejos realmente no parecen hacer bien, así que ¿por qué son llamados números ? Es esto lo que estás pidiendo ? Para empezar, se dieron en un contexto numérico, como raíces de ecuaciones polinómicas. Obviamente, dado que todas las otras raíces son números, ¿por qué no también ser como tal ? Además, todas las operaciones entre dos números reales también se puede hacer entre un número real y complejo, o entre dos complejos. Ahora repasemos la primera frase: Hacer números complejos realmente no mide nada ? Tal vez no de la edad o la distancia, pero no hay tantos otros conceptos físicos a que su existencia se adapta como un guante ? Como la energía mecánica, la cual está en un constante estado de flujo, que oscila entre dos polos opuestos, cinética y potencial. O de formas de onda, como el sonido, o una corriente eléctrica alterna, etc. Así que si lo hacen medida después de todo, y si las mismas leyes y operaciones se aplican a ellos como ellos a los otros números, o, en otras palabras, si ellos comparten muchas características en común, ¿por qué no podían ser llamado por el mismo nombre ?