Buena pregunta, Jim.
$\pi_1 SO(n) \simeq \mathbb Z_2$ proporcionado $n \geq 3$ . Así que su camino se eleva si y sólo si es homotópico nulo. Pero como $\pi_1$ es la orden dos, $\pi_1 SO(n) \simeq H_1 SO(n)$ (Hurewicz). $SO(n)$ es una variedad cerrada, por lo que la dualidad mod-2 de Poincare da un isomorfismo
$$H_i SO(n) \to H^{k - i} SO(n) \equiv Hom(H_{k-i} SO(n), \mathbb Z_2)$$
(coeficientes mod-2 en todas partes), el $\equiv$ a la derecha son los coeficientes universales. $k=dim(SO(n)) = {n \choose 2}$ .
Esto dice que puede detectar si su elemento de $\pi_1 SO(n)$ es trivial tomando el número de intersección (transversal) mod-2 con el correspondiente ${n \choose 2}-1$ -clase de dimensión en $SO(n)$ .
Hay muchas formas de describir una clase de homología. Una forma útil para esta clase en particular sería como el subespacio de $SO(n)$ donde la matriz tiene $-1$ como valor propio. En primer lugar, teniendo $-1$ como valor propio es una condición de codimensión uno ya que todos los valores propios de una matriz en $SO(n)$ están en el círculo complejo unitario (también aparecen en pares conjugados). Y si no tienes $-1$ como un valor propio, hay un camino canónico desde la matriz hasta $I$ en $SO(n)$ que evita el $-1$ subespacio de valores propios -- piense en perturbar los valores propios hacia $1$ .
Este subespacio no es un submanifold cuando $n \geq 4$ pero la idea de transversalidad sigue siendo válida. Para terminar el argumento, se observaría que la intersección transversal con este subespacio da un homomorfismo bien definido $H_1 SO(n) \to \mathbb Z_2$ y como es distinto de cero tiene que ser lo que tú quieras.
En el caso $n=3$ este subespacio es sólo las rotaciones por $\pi$ sobre varios ejes. Así que es un colector y difeomorfo a $\mathbb RP^2$ .
Cuando $n=4$ Este espacio es un poco más complicado. Si el 2º valor propio $\lambda$ de la matriz $A \in SO(4)$ no es $-1$ , $A$ descompone $\mathbb R^4$ en un espacio de dos dimensiones $(-1)$ -y su complemento ortogonal, en el que $A$ actúa por rotación por $\lambda$ . Dicho de otra manera, se puede pensar en este espacio como la imagen de un mapa cuyo dominio es $Gr_{4,2}^+ \times S^1$ . $Gr_{4,2}^+$ es el Grassmanniano de la orientación $2$ -subespacios dimensionales de $\mathbb R^4$ . Dado un par $(V, \lambda) \in Gr_{4,2}^+ \times S^1$ la matriz asociada a $(V,\lambda)$ es la matriz donde $V$ es un $(-1)$ -y en el complemento ortogonal es la rotación por $\lambda$ . Se necesitan las orientaciones para que esto tenga sentido. Este mapa no es uno a uno ya que existe la relación $(\overline{V}, \overline{\lambda})$ y $(V,\lambda)$ se asignan a la misma matriz, pero también $(V,-1)$ y $(W,-1)$ se asignan a la misma matriz, independientemente de lo que $V$ y $W$ son. $\overline{V}$ es la orientación-inversa de $V$ .
Otra forma de decir esto es que el subespacio de matrices $A \in SO(4)$ que tienen $(-1)$ como valor propio es el cilindro cartográfico del mapa de cobertura 2:1 $Gr_{4,2}^+ \to Gr_{4,2}$ con el límite $Gr_{4,2}^+$ aplastado hasta cierto punto. Como espacio estratificado, es un objeto de 5 dimensiones que es un colector excepto en un solo $0$ -(correspondiente a la matriz $-I$ ). Por lo tanto, para todos (nuestros) fines prácticos, se trata de un colector cerrado.
¿Quizás haya una descripción más sencilla de esta clase de homología?
Para su ejemplo particular, la forma más lenta de calcular esta intersección sería esbozar los valores propios como una función de $t$ utilizando algo como Matlab o Mathematica, y contar cuántas veces se estrellan a través de $-1$ . Habría que tener cuidado con la transversalidad, pero su matriz se mantiene alejada del punto singular ( $-I$ ) por lo que no causará ningún problema.
Sospecho que adquiriste tu matriz como un producto de matrices más simples. Si ese es el caso, yo escribiría el producto y haría el recuento a mano, en los factores individuales, y luego los sumaría. Esto permitiría una comprobación más fácil de la transversalidad, también.
