Para resolver una ecuación

Question

Esto puede parecer una pregunta tonta. La razón por la que pido es básicamente porque me interesa saber la formal y la forma correcta de expresar las ecuaciones de los ejercicios militares.

Esta pregunta surge en una conversación entre yo y un amigo. Considere la posibilidad de un libro de texto y estudiante de la relación. Estamos hablando de un ejercicio de problema como este:

1. Resolver la ecuación de $$\frac{2x+1}{4x+2} = \frac{1}{2}.$$

Estábamos debatiendo que la responsabilidad era del estado que $x \neq -1/2$. Es la responsabilidad de quien formuló la ecuación o la responsabilidad de quien trata de resolverlo.

En mi opinión, una ecuación es un predicado, de modo que es cierto para algunas entradas (x en este caso) y false para algunos. Para resolver una de las ecuaciones es básicamente para encontrar su tabla de verdad. Por supuesto, el predicado debe ser administrado junto con algunos "universo" $U$ a partir de la cual x se toma.

Así que si tenemos en cuenta el ejercicio anterior, incluso no es un predicado si no también que a $x \neq -1/2$. En mi opinión, entonces, es incorrecto decir que esta es una ecuación:

$$\frac{2x+1}{4x+2} = \frac{1}{2}$$

sin que indica que $-1/2$ no está en el universo.

Mirando adelante a sus comentarios.

Answer 1

Yo diría que, a menos que se indique lo contrario, una expresión que debe ser considerado en su mayor dominio posible (dentro de un conjunto universal). Así, en el ejemplo, como de dominio no se da, el mayor dominio posible se considera (en $\mathbb{R}$ (supongo); es decir, tomamos $x \in \mathbb{R}\setminus\{-\frac{1}{2}\}$.

Este tipo de consideración, no es como nitpicky como algunos podrían pensar. Considere el siguiente DE $$\frac{dy}{dx} = -y^2.$$ When solving a DE, we are trying to find all functions $y$ which satisfy the given equation. Part of the definition of a function is its domain, but this is often not addressed when stating a DE, so one usually assumes we are looking for functions on the largest possible domain for which the DE makes sense (in this case $\mathbb{R}$). Obviously $y = 0$ is a solution, and solving the seperable DE in the usual way, we see that for each $c \in \mathbb{R}$, $y_c(x) = \frac{1}{x+c}$ is also solution. Note that the trivial solution $y = 0$ has largest domain of definition $\mathbb{R}$ while the non-trivial solutions $y_c$ have (the slightly smaller) largest domain of definition $\mathbb{R}\setminus\{-c\} \subconjunto \mathbb{R}$. Furthermore, if we allow ourselves to consider solutions with domain of definition $\mathbb{R}\setminus\{-c\}$, we obtain many more (piecewise) solutions. For example, the function $s : \mathbb{R}\setminus\{1\} \to \mathbb{R}$ dada por

$$y(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x-1} & x < 1\\ & \\ \dfrac{1}{x+1} & x > 1 \end{casos}$$

también es una solución para la DE, pero no puede ser extendida a una solución en $\mathbb{R}$ (lo mismo es cierto de las soluciones de $y_c$). Esto es muy mucho el punto. Si tomamos siempre sin especificar los dominios que sea el más grande posible, que a veces eliminar importantes e interesantes posibilidades.

Me disculpo si esta respuesta se ha desviado demasiado lejos de la intención de su pregunta.

Answer 2

Supongo que puede haber varios puntos de vista, pero tal vez algunos de los principales son:

1) ecuaciones Básicas como la dada en la OP generalmente aparecen primero en la escuela secundaria o así, y por lo general es parte del ejercicio para los niños para averiguar lo que el "dominio de definición de la" o "conjunto de posibles valores para sustituir en" la ecuación es.

Por lo tanto, una solución completa para este tipo de ejercicios debe contener el anterior conjunto.

2) a partir De una más puramente punto de vista matemático, que también se refleja en el punto (1), uno debe suponer que el ejercicio dado que contiene sólo expresiones matemáticas. Puesto que la división por cero representa una expresión de sentido en matemáticas(o, al menos, en "regular" de las matemáticas. No voy a entrar en los posibles significados de esta o de esa esfera de lo que la división por cero), se podría decir que "es obvio" que $\,x\neq-1/2\,$ ya que de lo contrario no tendríamos ni siquiera se ocupan de las matemáticas.

En este caso se asume que el lector entienda el por encima o más específicamente, se da con el ejercicio.

Answer 3

Mirando las respuestas de las personas hasta el momento me ha dado la impresión de que es muy posible que no existe consenso en cuanto a qué se considera como una respuesta formal a esa pregunta.

Para resumir, aunque, aquí están las posibilidades como las veo. La pregunta podría ser:

1) "Buscar todos los x tales que la ecuación es verdadera"

2) "Buscar todos los x tales que la ecuación tiene sentido, y que es cierto"

La 2ª extendido pregunta es generalmente lo que se pide en la mayoría de los casos que he observado, pero, sinceramente, no creo que haya un tipo formal de la brecha entre ellos. Usted puede elegir cualquiera de las dos y ambos estar bien preguntas.

Answer 4

Este fue concebido como un comentario de Michael Albanese la respuesta. No tengo suficiente reputación para publicar un comentario.

Si tomamos siempre sin especificar los dominios que sea el más grande posible, que a veces eliminar importantes e interesantes posibilidades.

Dado un predicado $P(x)$ donde el dominio $x$ pertenece no está especificado, que no se pierda soluciones por dejar que el dominio (que se $x$ pertenece a) ser el "más grande posible". En el caso de que el predicado es una ecuación diferencial $P(f)$ restringir $f$ total de funciones en $\mathbb{R}$ no es "dejar que el dominio (que se $f$ pertenece a) ser la mayor posible".

Como para la pregunta original: el autor de el ejercicio no necesita declarar $x \neq -1/2$. De hecho, el autor podía estado $x \in \mathbb{R}$ sin cometer ningún formal de error. El ejercicio entonces sería encontrar todos los $x \in \mathbb{R}$ que satisface la ecuación. Que la mano izquierda no está definido para $x = -1/2$ no causa ningún problema: esto sólo implica que $x = -1/2$ no es parte de la respuesta al ejercicio.

Así que si tenemos en cuenta el ejercicio anterior, incluso no es un predicado si no también que a $x \neq −1/2$.

Si por el predicado de la media de una fórmula $P(x)$, en el lenguaje de alguna teoría de la $T$ (de la aritmética), esto no es cierto. No necesita ser una conjunción de la fórmula $P(x)$ que $x \neq -1/2$ para nosotros contar con la equivalencia:

$T \vdash P(a) \Longleftrightarrow a$ satisface la ecuación.

Answer 5

Las ecuaciones son predicados y por lo tanto puede definir conjuntos. Dado un universo, decir $\mathbb R$, una ecuación en una variable $x$ define un predicado $P(x)$.

La ecuación dada a continuación se define el conjunto de

$$S = \{x : x \in \mathbb R \land P(x)\}$$

Para resolver la ecuación, significa que ahora para dar una más "útil" de la representación de este conjunto, de tal manera que, por ejemplo, los miembros pueden ser enumerados.

En cuanto a tu pregunta: realmente no tiene ningún símbolos de función en la teoría de conjuntos (sólo conjuntos de pares con propiedades especiales), así por ejemplo, la ecuación o predicado $P(x) := $ $$x / 0 = 1/2$$ en realidad sólo abrevie $$\exists z (\; ((x,0),z) \in {/} \land z = 1/2\;).$$ En este caso podemos ver que $S = \emptyset$ ya que la relación $/$ no contiene alguno de los miembros de la forma $((\cdot, 0), \cdot)$.

Entendido de este modo, una vez que un universo es dada la ecuación tiene un significado claro. No necesitamos ser más restricciones, por ejemplo, realizar las funciones que ocurren en la ecuación se define como usted sugiriendo.