Indicar la probabilidad de que el casco convexo de los cinco puntos que constan de $k$$x_k$. El convex hull tiene cinco puntos si y sólo si a los cinco puntos de la forma de un pentágono convexo, por lo $x_5=p_5$.
Ahora vamos a determinar el número esperado de subconjuntos de cuatro de los cinco puntos que forman un cuadrilátero convexo de dos maneras diferentes. Hay $5$ estos subgrupos, y cada uno tiene probabilidad de $p_4$ para formar un cuadrilátero convexo, por lo que el número esperado es $5p_4$. Por otro lado, si el convex hull ha $5$ puntos, todos los $5$ subconjuntos de la forma de un cuadrilátero convexo; si ha $4$ puntos, el casco convexo de sí mismo y de otros dos de los cuatro cuadriláteros son convexas, para un total de $3$, y si el convex hull ha $3$ puntos, exactamente uno de los cinco cuadriláteros es convexa (el que no se incluye el casco vertex que la línea que une los dos puntos interiores se separa de los otros dos casco vértices). Así tenemos
$$
5p_4=5x_5+3x_4+x_3\;.
$$
Junto con $x_5=p_5$$x_3+x_4+x_5=1$, que hace tres ecuaciones lineales de tres incógnitas. La solución es
$$
\begin{align}
x_3&=\frac32-\frac52p_4+p_5\;,\\
x_4&=-\frac12+\frac52p_4-2p_5\;,\\
x_5&=\vphantom{\frac12}p_5\;.
\end{align}
$$
MathWorld da $p_4$ $p_5$ de puntos uniformemente seleccionado en un triángulo y un paralelogramo; aquí están las correspondientes distribuciones:
$$
\begin{array}{c|c|c|c}
\text{shape}&p_4&p_5&x_3&x_4&x_5\\\hline
\text{triangle}&\frac23&\frac{11}{36}&\frac5{36}&\frac59&\frac{11}{36}\\\hline
\text{parallelogram}&\frac{25}{36}&\frac{49}{144}&\frac5{48}&\frac59&\frac{49}{144}
\end{array}
$$
La probabilidad de $x_4$ que el convex hull se compone de cuatro de los cinco puntos es la misma en ambos casos; sin embargo, esta probabilidad es diferente a la de una elipse. Aquí está el código para la comprobación de estos resultados y la estimación de los valores de una elipse.
