10 votos

Caos y ergodicidad en sistemas hamiltonianos

EDIT : Antes afirmaba algo incorrecto en mi pregunta. La medida de Liouville NO necesita ser ergódica en hipersuperficies de energía constante. Además, he descubierto que NINGÚN sistema hamiltoniano puede ser globalmente ergódico.

Así que la nueva formulación de mi pregunta es ahora esta :

¿Llamamos caótico a cualquier sistema hamiltoniano que presente las propiedades caóticas habituales en cada hipersuperficie de energía constante (por ejemplo, ergodicidad, mezcla, entropía positiva, exponente de Lyapunov positivo, etc.) o requerimos una geometría "complicada" de esas hipersuperficies?

Por ejemplo, imaginemos un sistema cuyas hipersuperficies de energía constante son muy simples, como los planos $z$ =constante, pero con un comportamiento complicado y caótico en cada uno de esos planos. ¿Llamarías caótico a ese sistema? Gracias por sus ideas.

8voto

VoxPelli Puntos 778

Creo que se refiere al teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM). Este teorema permite tener una definición clara de lo que es un hamiltoniano que se comporta bien y, por tanto, también cómo definir el caos hamiltoniano.

La explicación puede ser bastante sencilla si se considera un sistema integrable sometido al efecto de una pequeña perturbación. Un sistema integrable se describirá mediante un conjunto de tori invariantes. Esto significa que existe un conjunto de variables de ángulo de acción $(I_i,\theta_i)$ tal que su sistema será descrito por el Hamiltoniano $H=\sum_i I_i\omega_i$ y sus ecuaciones de movimiento son simplemente $\dot I_i=0,\ \dot\theta_i=\omega_i$ . Cuando perturbas este sistema, con una perturbación $\epsilon V({\bar I},{\bar\theta})$ con $\epsilon\rightarrow 0$ , el teorema KAM establece que tus tori no cambian demasiado y, para casi todas tus condiciones iniciales, el movimiento ocurrirá en tori ligeramente deformados.

La cuestión es que "casi todos". Debido a las condiciones de resonancia $\sum_im_i\omega_i=0$ no se puede conceder en todas partes que el movimiento esté siempre acotado. Habrá pequeños volúmenes, pequeños porque la perturbación es pequeña, para los que el movimiento no esté acotado y estarán cubiertos uniformemente satisfaciendo la condición para que se mantenga la ergodicidad, excepto para el valor de la energía. Estas regiones en las que el movimiento no está acotado son aquellas en las que se produce el movimiento caótico. Como ya se ha dicho, cuando $\epsilon\rightarrow 0$ forman un conjunto de medida nula. En esta situación, los tori iniciales del sistema integrable siguen estando ahí.

Cuando empiece a aumentar $\epsilon$ verás un fenómeno interesante: Estas regiones de movimiento caótico se hacen cada vez más grandes hasta el punto de cubrir todo el espacio de fase disponible. Todos los tori iniciales se destruyen. En esta situación el sistema se vuelve completamente caótico y el espacio de fase es cubierto uniformemente por el sistema, siendo el movimiento completamente ilimitado, si excluimos el hecho de que la energía debe tener un valor definido.

Pero podemos aumentar $\epsilon$ al punto a cruzar hacia el límite opuesto $\epsilon\rightarrow\infty$ . En este caso, el límite de una perturbación muy fuerte, un fenómeno bastante interesante puede suceder: ¡la reforma de Tori! Esto podría no ser genérico pero, para los sistemas más conocidos, el límite de una perturbación muy fuerte describe de nuevo un sistema integrable. Desaparece el movimiento caótico y reaparecen los tori.

Puede ver una prueba de ello aquí . Se puede cambiar la intensidad de la perturbación y el sistema pasará del movimiento regular al caótico y de nuevo al regular. El sistema que considero aquí es el de un oscilador armónico que se mueve en una onda plana. Este tipo de sistema es interesante en los estudios de física del plasma. La referencia es este publicado en el Journal of Mathematical Physics.

La conclusión que se extrae de esto es que un sistema puede ser totalmente ergódico sólo en una pequeña ventana del espacio de parámetros. Si se quieren entender las ideas que subyacen a un comportamiento ergódico en un sistema grande hay que dirigir la atención a la mecánica cuántica y al teorema de Lieb y Simon.

Para una visión más histórica, he encontrado este documento . El motivo de citarlo es recordar a dos pioneros en estas líneas de investigación.

1voto

Todd Puntos 176
  1. Sí: Alfredo M. Ozorio de Almeida escribió sobre esto: http://books.google.co.uk/books? id=nNeNSEJUEHUC&pg=PA60&lpg=PA60&dq=hamiltoniano+caos+liouville+medida&source=bl&ots=63Wnmn-xvT&sig=Z0eRtIQxmdQvgWUcLBab7ZJ9y- U&hl=es&ei=0EXfTuvzJcOG8gP5mZjaBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CDcQ6AEwAw#v=onepage&q=hamiltonian%20chaos%20liouville%20measure&f=false

  2. Qué se entiende por Caos: Laplace dijo, subido a los hombros de Newton: "¡Dime la fuerza y dónde estamos y predeciré el futuro!". Una afirmación elusiva, que supone la ausencia de caos determinista: La evolución temporal determinista no garantiza la predictibilidad, lo que es especialmente pertinente en los sistemas mecánicos cuyas ecuaciones son no integrables, algo habitual en los sistemas que tienen ecuaciones diferenciales no lineales con tres o más variables. Sabiendo esto, entramos en el terreno de la física: En la formulación hamiltoniana de la dinámica clásica, un sistema se describe mediante un par de ecuaciones ordinarias de primer orden para cada grado de libertad, así que además volvemos a imponer las condiciones de la evolución temporal determinista (las ecuaciones diferenciales no lineales) y dado que el espacio está acotado: ¡Ergodicidad!

Caos hamiltoniano: http://www.phys.uri.edu/~gerhard/hamchaos.html

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X