Una simple prueba de la desigualdad de Jensen

Question

La desigualdad de Jensen afirma que si $(X,\mu)$ es una medida de espacio con $\mu(X) = 1$, $\phi$ es convexa, y $f:X \rightarrow \mathbb R$ es integrable, entonces

$$\phi\left(\int fd\mu\right) \leq \int \phi \circ fd\mu.$$ Estoy tratando de encontrar una alternativa a prueba la cual no requiere que el hecho de que las funciones convexas son diferenciables. Yo primero probar el resultado para funciones simples: si $f = \sum_{i=1} ^n a_i \chi_{A_i} $ e las $A_i$ a un ser discontinuo con $X = \bigsqcup_{i=1} ^n A_i$. A continuación,$\sum_{i=1} ^n \mu(A_i) = 1$, por lo que

$$\phi\left(\int_X \sum_{i=1} ^n a_i \chi_{A_i} d\mu\right) = \phi\left(\sum_{i=1} ^n a_i \mu(A_i ) \right) \leq \sum_{i=1} ^n \phi(a_i) \mu(A_i ) = \int_X \phi \circ f d\mu .$$

Quiero extender esto para el caso general, mediante la aproximación de $f$ con una secuencia de funciones simples $(f_n)$. Sin embargo, me encuentro con un problema, mostrando que las integrales de $\phi \circ f_n$ convergen a la integral de la $\phi \circ f$. Alguna sugerencia?

Answer 1

Aquí está una prueba sin diferenciación.

Desde $\phi$ es convexa, $\phi$ es el supremum de algunos afín a las funciones de $\alpha$, en el sentido de que $\phi(x)=\sup_\alpha \alpha(x)$ por cada $x$, donde cada una de las $\alpha$ está definido por $\alpha:x\mapsto a_\alpha x+b_\alpha$ algunos $a_\alpha$$b_\alpha$.

Ahora, la integral es lineal, por lo tanto, para cada $\alpha$, $\displaystyle\int\alpha(f)\mathrm d\mu=\int(a_\alpha f+b_\alpha)\mathrm d\mu=a_\alpha I+b_\alpha=\alpha(I)$, con $I=\displaystyle\int f\mathrm d\mu$. Desde $\alpha(f)\leqslant \phi(f)$, $\displaystyle\int\alpha(f)\mathrm d\mu\leqslant\int\phi(f)\mathrm d\mu$ por lo tanto $\alpha(I)\leqslant\displaystyle\int\phi(f)\mathrm d\mu$.

Esto es válido para cada $\alpha$ por lo tanto $\sup_\alpha \alpha(I)\leqslant\displaystyle\int\phi(f)\mathrm d\mu$. Desde $\phi(I)=\sup_\alpha \alpha(I)$, la prueba está completa.