Toda extensión finita de un campo finito es separable

Question

Intento demostrar que toda extensión finita de un campo finito es separable. He encontrado una solución en Internet que dice:

Dejemos que $F$ sea un campo finito y $E$ sea una extensión de $F$ teniendo $p^n$ elementos. Entonces $E=F(\alpha)$ , donde $\alpha \in E$ y así $\alpha^{p^n} -\alpha=0$ . Esto implica $\alpha$ es un separable y por lo tanto $F(\alpha)$ es una extensión separable de F.

No entiendo por qué $\alpha^{p^n} -\alpha=0$ y por qué $\alpha$ es un elemento separable, necesito ayuda.

Gracias

Answer 1

Desde cualquier subgrupo finito del grupo multiplicativo de cualquier es cíclico, si un campo tiene $\,p^n\,$ elementos, entonces su grupo multiplicativo tiene $\,p^n-1\,$ y, por tanto, para cualquier elemento no nulo $\,\alpha\,$ en el campo,

$$\alpha^{p^n-1}=1\Longrightarrow \alpha^{p^n}=\alpha\Longleftrightarrow \alpha^{p^n}-\alpha=0$$

Obsérvese que la igualdad anterior es verdadera también para el elemento cero del campo.

Así, cualquier elemento de un campo con $\,p^n\,$ es una raíz de $\,x^{p^n}-x\,$ y este pol. es separable ya que su derivada es $\,p^nx^{p^n-1}-1=-1\neq 0\pmod p\,$

Answer 2

$E=F(\alpha)$ es un espacio vectorial sobre el campo de $p$ elementos, donde $p$ es la característica de $F$ Así que $E$ tiene $p^n$ elementos para algún número entero positivo $n$ . Eso significa que ese grupo multiplicativo de $E$ tiene $p^n-1$ elementos, por lo que $\alpha^{p^n-1}=1$ y $\alpha^{p^n}-\alpha=0$ .

Esta extensión es separable porque el polinomio mínimo de $\alpha$ no tiene raíces múltiples: el polinomio mínimo de $\alpha$ divide $X^{p^n}-X$ y $X^{p^n}-X$ no tiene raíces múltiples porque no tiene ninguna raíz en común con su derivada, $p^nX^{p^n-1}-1=-1$ (que no tiene raíces).