Serre fórmula intersección y derivados de la geometría algebraica?

Question

Deje que $X$ ser un esquema regular (todos los locales de los anillos son regulares). Dejar de dólares Y,Z$ser dos cerrados subschemes definido por los ideales de poleas de$\mathcal I,\mathcal J$. Serre dio una hermosa fórmula para contar la intersección de la multiplicidad de dólares Y,Z$ en un punto genérico de $x$ de $Y\cap Z$ como:

$$\sum_{i\geq 0} (-1)^i\text{longitud}_{\mathcal O_{X,x}} \text{Tor}_i^{\mathcal O_{X,x}}(\mathcal O_{X,x}/\mathcal I_x, \mathcal O_{X,x}/\mathcal J_x)$$

Toma un poco de trabajo para demostrar que esta es la definición correcta (incluso que la suma termina es no trivial teorema de álgebra homológica): es no negativo, se desvanece si las dimensiones no se suman correctamente, la positividad, etc. De hecho, en algunos casos aún están abiertas hasta donde yo sé. Vea aquí por referencia.

He escuchado una de las grandes cosas acerca de Lurie tesis es establecer un marco para la derivada de la geometría algebraica. De hecho, en la introducción se utiliza Serre fórmula de la motivación (que es bastante claro a partir de la fórmula de un "derivado" configuración parece natural). Sin embargo, no pude encontrar mucho acerca de él, aparte de la introducción, y Serre la fórmula era una vieja llama de la mina en la escuela de posgrado. Para mi (un poco vago):

Pregunta: ¿alguna de las propiedades deseadas de Serre de la fórmula natural de Lurie trabajo? Si es así (ya que las cosas rara vez son totalmente gratis en matemáticas), donde realmente pagar el precio (en términos de trabajo técnico para establecer las bases)? EDIT: Clark respuesta a continuación enormemente aclara y da más contexto histórico a mi pregunta, lo recomiendo!)

Answer 1

Hay una serie de comentarios acerca de la Serre de la intersección de la fórmula y su relación con la derivada de la geometría algebraica.

En primer lugar, deberíamos ser un poco más cautelosos acerca de la atribución. La idea de usar "derivados de los anillos" para dar una versión intrínseca de la Serre intersección de la fórmula no es reciente. La idea se remonta al menos a los pensamientos de Deligne, Kontsevich, Drinfeld, y Beilinson en la década de 1980 (y posiblemente antes). Estas ideas han sido precisos en un número de maneras, en particular en el trabajo de Kapranov & Ciocan-Fontaine, y Toën & Vezzosi. EDIT: Como Ben-Zvi me recordó a continuación, también hay que mencionar Behrend y Behrend-Fantechi en la DG de esquemas virtuales y clases fundamentales. Por supuesto Lurie trabajo ha sido el más completo y potente en su tratamiento de las bases de DAG, pero es importante entender que su trabajo surgió en el contexto de estas ideas fascinantes.

Ahora, sólo para dar un poco de contexto, permítanme que trate de recordar cómo se Serre la fórmula surge de DAG consideraciones. Vamos a empezar con la notación anterior, pero supongamos por simplicidad que $X$, $Y$ y $Z$ son todos los esquemas locales. (Algunos de los aspectos técnicos de DAG surgir en la toma de gavilla de la teoría de trabajar con algún tipo de "derivados de los anillos," para nuestra discusión será más fácil si hacemos caso de que, por ahora.) Así que escribir $X=\mathrm{Spec}(A)$, $Y=\mathrm{Spec}(B)$ y $Z=\mathrm{Spec}(C)$ para el local anillos de $A$, $B$ y $C$.

Ahora bien, si nuestro objetivo es cruzan $Y$ y $Z$ en $X$, sabemos cómo hacer que algebro-geométricamente. Se forma el producto de fibra de $Y\times_XZ=\mathrm{Spec}(B\otimes_AC)$. El tensor de producto que aparece aquí es realmente lo que va a alterar. Para ello, vamos a considerar a $B$ y $C$ como (discreto) simplicial (propiedad conmutativa) $$-álgebras, y vamos a formar la derivada del tensor de producto. Esto produce una nueva simplicial anillo conmutativo $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$ cuya homotopy grupos son exactamente los grupos $\mathrm{Tor}^A_i(B,C)$. La intersección de la multiplicidad es simplemente la longitud de $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$ como simplicial $$-módulo.

Como Ben Webster dice, la verdadera alegría de la DAG en el pensamiento de la geometría de nuestro nuevo derivados del anillo de $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$ como una sola unidad en lugar de pensar sólo en su incorpóreo homotopy grupos. La pregunta que te estás preguntando parece ser: ¿el pensar geométricamente acerca de este gadget nos ayudan a demostrar Serre de la multiplicidad de las conjeturas de una forma más conceptual manera?

La respuesta corta es: no sé. No creo que una nueva prueba de cualquiera de estos se ha anunciado el uso de DAG (y definitivamente no en cualquiera de Lurie papeles), y en cualquier caso no creo que DAG tiene el potencial de hacer las conjeturas "fácil". Pero déjame ver si puedo hacer un caso para la siguiente idea: volver a Serre original del método de reducción a la diagonal en el contexto de la DAG.

Recordemos que, si $k$ es un campo, si $a$ es un $k$-álgebra, y si $M$ y $N$ es $Una$-módulos, entonces $$M\otimes_AN=A\otimes_{Un\otimes_kA}(M\otimes_kN).$$ Por lo tanto comprender $\mathrm{Tor}^A_{\ast}(M,N)$, es suficiente para entender $\mathrm{Tor}^{Un\otimes_kA}_{\ast}(A,-)$. Esto permitió Serre a reducir, para el caso de la diagonal en $\mathrm{Spec} (\otimes_kA)$. El punto clave aquí es que todo es plano más de $k$, por lo Serre sólo podían utilizar para probar la multiplicidad de las conjeturas de $Un$ esencialmente finito de tipo más de un campo. Observar que la misma igualdad ocurre si trabajamos en la que se derivan del establecimiento: si $M$ y $N$ se simplicial $$-módulos, y $A$ es un $R$-álgebra, entonces la derivada del tensor de producto de $M$ y $N$ más de $Un$ puede ser calculada como$$ A\otimes^{\mathbf{L}}_{Un\otimes^{\mathbf{L}}_RA}(M\otimes^{\mathbf{L}}_RN).$$ El gadget de la derecha (o, estrictamente hablando, su homotopy) tiene un nombre familiar para toplogists; es la homología de Hochschild $\mathrm{HH}^R(a,M\otimes^{\mathbf{L}}_RN)$.

La esperanza es que hemos escogido $R$ hábilmente suficiente que $B\otimes^{\mathbf{L}}_RC$ es "menos complicado" que $B\otimes^{\mathbf{L}}_AC$. (Más precisamente, queremos que la $\mathrm{Tor}$amplitud de $M$ y $N$ a disminuir cuando pensamos en ellos como $R$-módulos. Hay un modo particular de construcción de $R$, pero déjame saltar este punto.)

Nuestra situación ha mejorado? Tal vez sólo un poco: hemos convertido a nuestro problema de mirar a la deriva de la intersección de $Y\times^h_XZ$ en el estudio de la derivada de la intersección de la diagonal en el interior de $X\times^h_RX$ con algunos de los más simples derivados subscheme $Y\times^h_RZ$ de los mismos. Pero ahora podemos tratar de repetir este, trabajando de forma inductiva.

No sé si esto puede ser hecho para trabajar, por supuesto.

Answer 2

No voy a decir que no, porque ciertamente no puede decir que ha leído todos los de DAG, pero pienso que usted está buscando algo equivocado. El punto entero de DAG es que usted no debe pensar acerca de la cantidad, sino que debe tomar la derivada de producto de fibra de su subschemes, y pensar en esto como un derivado del esquema, que es mucho más de la información y la estructura de un número, pero si usted mira su tallo en un punto, usted puede ver exactamente la de Tor en la fórmula anterior. Es tal vez que se puede volver a empaquetar las afirmaciones que usted desea como propiedades de este derivado de la intersección, y es ciertamente posible, que no son teoremas en DAG derivadas de los esquemas que implican las propiedades que desee; mi sospecha es que la conservación de los problemas se requieren para hacer las mismas cosas que en algún lugar en la prueba de los teoremas.

Answer 3

Como Kevin puntos, esto se discute en la introducción a DAG V. Una hermosa lección de Jacob en el tema (por el teorema de Bezout como una introducción a DAG) está disponible para ver en las garras del sitio. Esto no es totalmente responder a sus preguntas (se trata básicamente de un expositiva versión de lo que Clark explicó).. aunque por lo que entiendo que algunos derivados de la intersección de la teoría sigue muy bien y fácilmente desde el DAG lenguaje, específicamente la teoría de la virtual clases fundamentales, y esto se supone que debe aparecer en una de las próximas DAG volúmenes.

Answer 4

Ver DAG V: Estructurado Espacios.