Suma de factores primos

Question

Si $x$ es una extraña prime, es cierto que la suma de los factores primos de a $x + 1$ es de menos de $x$?

Si es así, entonces esto daría una buena manera de construir una "saltos" de la secuencia que converge a $0$, es decir, dejar que el $n$th plazo, ser $1$ dividido por la suma de los factores primos de a $n + 1$. Entonces si $n + 1$ es un extraño primo, entonces el $n$th plazo es menor que el $n + 1$th plazo, por lo que no podemos decir, "siempre Nos estamos acercando a $0$, en cada paso del camino.", pero la secuencia no en el hecho de la convergencia a $0$.

Esto se ilustra por qué la definición rigurosa de convergencia: la convergencia de los delimitada monótona de las secuencias pueden ser manejados fuera sin la ayuda de nadie, pero no así el caso general.

edición (4.Sep.2013, CST, MERCA):

De hecho, la no-monotónica convergencia a cero es un físico que conocemos hecho, y hay algunas expresiones que la captura de esta noción. Aquí son tres:

"flash-en-el-pan"

"rebote del gato muerto"

"la muerte-sonajero"

¿Alguien puede venir con los demás?

Cálculo de los maestros tal vez podría hacer el uso de estas expresiones en motivar a los la definición formal de límite.

Answer 1

Lema: La suma (contando multiplicidad) de los factores primos de cualquier entero positivo $n$$\le n$.

El lema queda demostrado en la final de este post. Usando el lema, nos encontramos con que la suma de los factores primos de a$2m$$\le 2+m$.

Deje $x$ ser un número impar, y deje $2m=x+1$. La suma de los factores primos de a$x+1$$\le 2+\frac{x+1}{2}$. Y tenemos $$2+\frac{x+1}{2}\lt x$$ si $x\gt 5$.

La prueba del Lema: utilizamos (fuerte) de inducción. Deje $S(n)$ la suma de los factores primos de a $n$. Supongamos $S(k)\le k$ para todos los positivos $k\lt n$. Queremos mostrar que $S(n)\le n$. El resultado es obvio si $n$ es primo. Si $n$ no es primo, vamos a $n=ab$ donde $a,b\lt n$. A continuación,$S(n)=S(a)+S(b)$. Por la hipótesis de inducción $S(a)+S(b)\le a+b$. Pero $a+b\le ab$. Esto completa la prueba.