$ \exists a, b \in \mathbb{Z} $ tal que $ a^2 + b^2 = 5^k $

Question

Vi a este problema recientemente y encontrar una solución elegante para ella, y era curioso a ver si alguien podría pensar en algo más. Bonito soluciones a niza problemas son muy divertido de ver!

Problema: Demostrar que, para todos los enteros no negativos $k$, existen enteros $a$, $b$ tal que $a^2+b^2=5^k$.

Bono: Demostrar que $(a,b)=1$.

Answer 1

SUGERENCIA:

El uso de la inducción:

$5^1=2^2+1^2$

Deje $5^k=a^2+b^2$

$5^{k+1}=(a^2+b^2)(2^2+1^2)=(2a\pm b)^2+(2b\mp a)^2$ (Brahmagupta–Fibonacci de identidad)

Esto invita a un poco de generalización: a medida que los números que se pueden expresar como la suma de dos cuadrados.

Answer 2

En el corazón, $a^2+b^2$ puede ser visto como la plaza si la distancia de a $a+bi$ $0$en el de los números complejos. Y si $w,z$ son números complejos, a continuación,$|wz|=|w|\cdot |z|$, lo $|wz|^2 = |w|^2\cdot |z|^2$.

Eso significa que si $a+bi = (2+i)^n$$a^2+b^2 = |a+bi|^2 = \left(|2+i|^2\right)^n = 5^n$.

Este enfoque consigue $a,b$ relativamente primos y distinto de cero.

La otra forma es tomar el caso de $n=2m$ el primer:

$$5^{2m} = \left(5^m\right)^2 +0^2$$

Para $n=2m+1$ impar, se obtiene:

$$5^{2m+1} = \left(2\cdot 5^m\right)^2 + \left(1\cdot 5^m\right)^2$$

Hay otra manera, estrechamente asociado con la respuesta compleja, el uso de determinantes de matrices de la forma:

$$\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}$$

Tales matrices son cerrado bajo la multiplicación, y el factor determinante es $x^2+y^2$.

Ya que el producto de los factores determinantes es el determinante del producto, usted solo necesita encontrar una solución de $x^2+y^2=5$ y plantear que la matriz a de la $n$th poder.

Esto le da exactamente la misma respuesta(s) como mi primera aproximación, ya que el anillo de las matrices de esta forma es "isomorfo" a los números complejos. Pero el factor determinante es en cierto sentido una "algebraica" de respuesta, en comparación con la distancia de la propiedad.

Answer 3

Tome el anillo $\mathbb{Z}[i]$ y la norma de la función $$ N(x+iy) = x^2 + y^2 $$ A continuación,$N(z_1z_2) = N(z_1)N(z_2)$. Así $$ z = (2+i)^k = a+bi $$ A continuación, $a^2+b^2 = N(z) = N(2+i)^k = 5^k$