Son todas las formas bilineales idéntica a cero?

Question

Deje $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial y $\beta$ ser una forma bilineal. De acuerdo a la definición de las formas bilineales es posible hacer lo siguiente: $$\begin{align}\beta(u,v)&=\beta(u+w-w,v)=\beta(u+w,v)-\beta(w,v)\\ &=\beta(u+w,v)+\beta(w,-v)=\beta(u+2w,v-v)\\ &= \beta(u+2w,0)=0\end{align}$$

Me parece curioso, creo que hay algún error, pero no puedo identificar, pido su ayuda en este asunto.

Answer 1

El paso $$\beta(u+w,v) + \beta(w,-v) = \beta(u+2w,v-v)$$is wrong. You must have one of the arguments fixed in both terms in order to apply linearity in the other one. That is, $\beta$ being bilinear in $u$ and $v$ is not the same as being linear in the pair $(u,v)$. For example, the multiplication in $\Bbb R$ is bilinear. You'd be saying that $$(u+w)v + w(-v) = (u+2w)(v-v)$$for all $u,v,w \ \ en \Bbb R$, which is false (take $u=v=w=1$, digamos).

Answer 2

Si la función de $\gamma\colon V\times V\to V$ satisface \begin{align} &\gamma(u,v)+\gamma(x,y)=\gamma(u+x,v+y),\tag{1} \\ &\gamma(au,v)=a\gamma(u,v),\tag{2} \\ &\gamma(u,av)=a\gamma(u,v),\tag{3} \end{align} para todos los $u,v,x,y\in V$ y todos los escalares $a$, $\gamma(u,v)=0$ todos los $u,v$.

De hecho, $\gamma(u,0)=\gamma(u,0\cdot0)=0\gamma(u,0)=0$ y de manera similar a $\gamma(0,v)=0$; por lo tanto $$ \gamma(u,v)=\gamma(u,0)+\gamma(0,v)=0+0=0 $$

Tenga en cuenta que esta es básicamente la declaración que resultó. Sin embargo, para que una forma bilineal propiedad $(1)$ es no necesario. Más bien, es necesario que $$ \beta(u,x+y)=\beta(u,x)+\beta(u,y),\qquad \beta(u+v,x)=\beta(u,x)+\beta(v,x) $$ que es muy diferente de la otra propiedad.

Hay mapas de $f\colon V\times V\to V$ que satisfacen la propiedad $(1)$? Sí, por ejemplo, todos lineal mapas de $V\oplus V\to V$ do. Sin embargo, no satisfacen $(2)$$(3)$, pero sólo $$ f(au,av)=af(u,v) $$