Es $SL(n,K) \cap D(n,K)$ siempre un máximo de toro en $SL(n,K)$?

Question

Deje $K$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Deje $SL(n,K), GL(n,K)$ denotar el especial de grupo lineal general y de grupo, respectivamente, y $D(n,K)$ es la diagonal del subgrupo de $GL(n,K)$.

A continuación, $SL(n,K) \cap D(n,K)$ debe ser un toro, es decir, conectado a un diagonalizable subgrupo, de $SL(n,K)$. Pero, debe ser máxima?

Cuando char$K=0$, este parece ser el caso. Al $K=\mathbb{Z}/(2)$ y $n=2$, $SL(2,K) \cap D(2,K)=\{e\}$, aquí, $e$ denota el elemento de identidad de los dos grupos. Y $e$ es la única diagonalizable la matriz en $SL(2,K)$, por lo que este es verificada.

Pero, ¿cómo demostrar que esto es cierto en general? Y si no es cierto, ¿cuál es su contraejemplo?

Muchas gracias~

Answer 1

Deje $T$ ser un toro en $SL(n,K)$. A continuación,$T$, considerado como un subconjunto de a $M(n\times n,K)$, es un conjunto de desplazamientos de los de diagonalizable matrices y, como tal, es al mismo tiempo diagonalizable, es decir, hay un $g\in GL(n,K)$$gTg^{-1}\subseteq SL(n,K)\cap D(n,K)$. Por lo tanto la dimensión de cualquier toro está limitada por la dimensión de la intersección en cuestión, lo que demuestra que esta intersección es de hecho un toro maximal.