Cómo determinar que la solución para el siguiente problema es único?

Question

La pregunta es:

[BMO2 2000 Q3] Encontrar enteros positivos a y b tales que a $$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - 1)^2 = 49 + 20\sqrt[3]{6}$$

Basta encontrar una solución para obtener la puntuación máxima, lo cual hice con la expansión y suponiendo que ni $a$ ni $b$ son perfectos cubos, por lo que el $2\sqrt[3]{ab} = 48$. La solución que se obtiene de este método es $(a, b) = (48, 288)$. Sin embargo, a partir de esto surgen dos preguntas en mi mente:

a) es que esta Es la única solución? I. e. hay $c$ $d$ tal que $$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - 1)^2 = (\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{d} - 1)^2$$

$\Rightarrow \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{d}$ o $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - 1 = -\sqrt[3]{c} - \sqrt[3]{d} + 1$

b) ¿se Puede resolver el problema original de tal manera que es claro que las soluciones encontradas son únicos?

EDIT: Gracias a gammatester por su comentario de que no hay otra solución: $(a, b) = (288, 48)$, pero me estoy refiriendo a las distintas soluciones que no son las permutaciones de otras soluciones.

Answer 1

No necesitamos a cuenta para el segundo caso, ya que es trivialmente imposible debido al hecho de que para enteros positivos $ a, b, c, d $ el lado izquierdo es positivo y el lado derecho es negativo. Su primer caso es resuelto por el siguiente teorema:

Teorema. Deje $ a, b \in \mathbf Q^{\times} $ no ser perfecto cubos tal que $ a/b $ no es un cubo perfecto en $ \mathbf Q $. A continuación, $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{d} $ $ c, d \in \mathbf Q $ si y sólo si $ \{ a, b \} = \{ c, d \} $ (i.e la solución es única, hasta permutación).

Prueba. Escribir $ b = qa $ $ q \in \mathbf Q $ no es un cubo perfecto. Entonces, tenemos una igualdad

$$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{qa} = \sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{d} $$

Estas raíces cúbicas de toda la mentira en algún campo de extensión de la $ L $$ \mathbf Q $, y podemos hablar sobre el campo de traza $ T = \textrm{Tr}_{L/\mathbf Q} $. Desde $ x^3 - a $ es irreducible en a $ \mathbf Q[x] $ si $ a $ no es un cubo perfecto, y el seguimiento es un múltiplo de la suma de los conjugados, nos encontramos con que la traza de todas las irracional raíces cúbicas de números racionales se desvanecen. Esta es la idea clave de la prueba. Multiplicar ambos lados por $ a^{2/3} $ para obtener

$$ a + a\sqrt[3]{q} = \sqrt[3]{a^2 c} + \sqrt[3]{a^2 d} $$

Si ni raíz cúbica en el lado derecho era racional, tomando huellas produciría el absurdo $ a = 0 $. Por lo tanto, al menos uno de $ a^2 c, a^2 d $ es un cubo perfecto. Asumir que se es $ a^2 c = u^3 $ sin pérdida de generalidad, y ahora se multiplican ambos lados de la ecuación original por $ (qa)^{2/3} $ para obtener

$$ a \sqrt[3]{q^2} + qa = \sqrt[3]{q^2 a^2 c} + \sqrt[3]{q^2 a^2 d} $$

Por el mismo argumento, una de las raíces cúbicas en el lado derecho debe ser racional, ya que $ q^2 $ no es un cubo perfecto. Si se $ q^2 a^2 c $, $ q^2 $ también sería un cubo perfecto como el cociente de dos cubos perfectos, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $ q^2 a^2 d = v^3 $ es un cubo perfecto. Sustituyendo en la ecuación original da

$$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{qa} = \frac{u \sqrt[3]{a}}{a} + \frac{v\sqrt[3]{qa}}{qa} $$

Sin embargo, $ \sqrt[3]{a} $ $ \sqrt[3]{qa} $ son linealmente independientes sobre $ \mathbf Q $, lo que significa que la única fuga combinación lineal es la trivial, y hemos

$$ \frac{u}{a} = \frac{v}{qa} = 1 $$

Ahora, $ u^3 = a^2 c $ da $ c = a $, e $ v^3 = q^2 a^2 d $ da $ d = qa = b $. QED.

Ahora, desde la $ 288/48 = 6 $ no es un cubo perfecto en $ \mathbf Q $ (y ni se $ 288 $$ 48 $), el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Pido disculpas, esta solución es un poco la mano-ondulado y (de hecho, puede que esté equivocado) como mis habilidades/conocimientos en este tema es más bien débil. Tal vez alguien puede ofrecer más tarde a un más riguroso versión de este argumento, si es correcto.

Tenemos, $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}-2(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}) = 20\sqrt[3]{6}.$$

Consider the highest power of $6$ that divides $a$ and $b$ modulo $3$. I believe (likely using some argument about the linear independence of cuberoots of integers over $\mathbb{Q}$) that it can be shown that the highest power of $6$ (modulo $3$) that divides $a$ is $6^1$ and similarly $6^2$ for $b$. Such an argument would probably use the fact that the righthand side doesn't contain any $\sqrt[3]{6^2}$ términos.

También, tenemos, como usted dijo, $$2\sqrt[3]{ab} = 48 = 2^4 \cdot 3$$ $$\implies 2^3 | \sqrt[3]{ab}$$ $$\implies 2^9 | ab.$$

That means that there are $9$ factors of $2$ between $a$ and $b$. Since $a$ contains $1$ factor of $6$ and $b$ contains $2$ factors of $6$, that means that there are a total of $6$ factors of $2$ left between $a$ and $b$ after we subtract out the factors of $2$ belonging to the $6$'s. In order to write $\sqrt[3]{a} = k\sqrt[3]{6}$ and $\sqrt[3]{b} = l\sqrt[3]{6^2}$ for some integers $k,l$; then those $6$ factors of $2$ must be distributed between $un$ and $b$ in multiples of $3$. There are three ways to do this:

1. Give all six factors of $2$ to $$
2. Dar a todos los seis factores de la $2$ $b$
3. Dar a $a$ $b$ tres factores de $2$ cada uno.

Esto nos da tres candidatos para nuestras opciones de $a,b$:

1. $a = 6\cdot 2^6$ $b=6^2$
2. $a = 6$ $b=6^2\cdot 2^6$
3. $a = 6\cdot 2^3$ $b=6^2\cdot 2^3$

De estos tres, sólo el último resuelve la ecuación, por lo tanto la solución es única.

Como una nota del lado, he comprobado que $(48,288)$ es la única solución hasta el reordenamiento en Mathematica: Solve[(x^(1/3) + y^(1/3) - 1)^2 == 49 + 20*6^(1/3) && x > 0 && y > 0, {x, y}, Integers]

Espero que esto ayude!