Diffeomorphism conserva interior, exterior y frontera

Question

Deje $g : A \to B$ ser un diffeomorphism de abrir conjuntos de $A, B \subseteq \mathbb{R}^n$. Es decir, $g$ es un bijection y tanto $g,g^{-1}$ son de clase $C^r$ algunos $r \geq 1$.

Deje $S$ ser un subconjunto de a $A$, y deje $g(S) = T$. Es cierto que $g(\text{Int }S) = \text{Int }T$, $g(\text{Ext }S \cap A) = \text{Ext }T \cap B$ y $g(\text{Bd }S) = \text{Bd }T$?

[Aquí se definen las $\text{Int }S$ como la unión de todos los conjuntos que figuran en $S$, $\text{Ext }S$ como la unión de todos los conjuntos disjuntos de $S$, $\text{Bd }S$ como el conjunto de puntos cuyas cada barrio contienen puntos de$S$$\mathbb{R}^n-S$. Estos 3 conjuntos son disjuntos y su unión es $\mathbb{R}^n$.]

Yo creo que es cierto, y creo que tener una prueba:

De hecho, $g^{-1}$ es continua, y desde $\text{Int }S$ está abierto, $g(\text{Int }S)$ es abierto, por lo $g(\text{Int }S) \subseteq \text{Int }T$. Del mismo modo $g$ es continua, por lo $g^{-1}(\text{Int }T) \subseteq \text{Int }S$. De ello se desprende que $g(\text{Int }S) = \text{Int }T$.

Del mismo modo $g(\text{Ext }S \cap A)$ está abierto, y $\text{Ext } \cap a \subseteq a - S$, so that $g(\text{Ext }\cap a) \subseteq \text{Ext }T \cap B$. Then $g(\text{Ext }\cap a) = \text{Ext }T \cap B$.

Finalmente,$g(A) = B$, de modo que $g(\text{Int } \cup \text{Bd } \cup (\text{Ext }\cap A)) = \text{Int }T \cup \text{Bd }T \cup (\text{Ext }T\cap B)$. Since $g$ is a bijection, it follows that $g(\text{Bd }S) = \text{Bd }T$.

Pero tengo dudas porque Munkres' Análisis de Colectores requiere de $S$ compactos (Teorema de 18.2, página 154). Es la declaración de la verdad, o sea que hay un error con la anterior prueba?

Answer 1

Es importante que usted considere $\def\Int{\operatorname{Int}}\Int$, $\def\Ext{\operatorname{Ext}}\Ext$, y $\def\Bd{\operatorname{Bd}}\Bd$ con respecto a $A$, $B$ o con respecto al espacio ambiente $ℝ^n$.

En el primer caso, el resultado es trivial, ya que una diffeomorphism es un homeomorphism y un homeomorphism conserva todos los topológico cosas.

En el segundo caso, usted realmente necesita para convertirlo en el primer caso. En general se sostiene que $Ext_A(S) = \Ext_{ℝ^n}(S) ∩ A$, y dado que los conjuntos de $A$, $B$ están abiertas, también hemos $\Int_A(S) = \Int_{ℝ^n}(S)$. Por último, tenemos $\Bd_A(S) = A \setminus (\Int_A(S) ∪ \Ext_A(S))$ $= A \setminus (\Int_{ℝ^n}(S) ∪ \Ext_{ℝ^n}(S) ∩ A)$ $= (ℝ^n \setminus (\Int_{ℝ^n}(S) ∪ \Ext_{ℝ^n}(S))) ∩ A$ $= \Bd_{ℝ^n}(S) ∩ A$. Y lo mismo para $B$, por lo que parece que se mantiene.