si $G$ es un grupo , $H$ es un subgrupo de $G$$g\in G$ , Es posible que $gHg^{-1} \subset H$?

Question

si $G$ es un grupo , $H$ es un subgrupo de $G$$g\in G$ , Es posible que $gHg^{-1} \subset H$ ?

esto significa , $gHg^{-1}$ es Adecuado subgrupo de $H$ , sabemos que , $H \cong gHg^{-1}$ , por lo que si H es finito, entonces tenemos una contradicción ya que el isomorfismo entre los dos subgrupos, implica que ellos tienen el mismo orden por lo $gHg^{-1}$ puede no ser adecuado subgrupo de $H$

así, lo que si H es infinito , hay un ejemplo de tal $G , H , g$ ?

Edit :supongo que $H$ tiene un subgrupo $N$ de manera tal que , $N$ es normal sungroup de $G$

Answer 1

Sí. Definir $\bf Q$ bajo la suma. Deje $\alpha:x\mapsto nx$ ser un automorphism para algún entero $n>1$. Considerar el subgrupo $Z$ generado por $(1,0)\in {\bf Q}\rtimes\langle \alpha\rangle$. A continuación,$\alpha Z\alpha^{-1}=nZ\subsetneq Z$.

Answer 2

Deje $\mathbb{F}_2 = \langle a,b \mid \ \rangle$ ser el grupo libre de rango dos. Se sabe que el subgrupo $F_{\infty}$ generado por $S= \{b^nab^{-n} \mid n \geq 0 \}$ es gratuita a través de $S$. A continuación, $bF_{\infty}b^{-1}$ es de libre generado por $bSb^{-1}= \{b^n a b^{-n} \mid n \geq 1\}$, por lo tanto $bF_{\infty}b^{-1} \subsetneq F_{\infty}$.

(De lo contrario, $a$ puede ser escrito más de $bSb^{-1}$, lo cual es imposible ya que $a \in F_{\infty}$ $F_{\infty}$ es gratuita a través de $S$.)