Serie de matrices de suma

Question

Necesito resumir la serie

$$I + A + A^2 + \ldots$$

para la matriz

$$A = \left(\begin{array}{rr} 0 & \epsilon \\ -\epsilon & 0 \end{array}\right)$$

y $\epsilon$ pequeño. El objetivo es invertir la matriz $I - A$ . El texto dice que hay que usar una serie geométrica pero me ha costado encontrarla. Estoy estudiando por mi cuenta así que no puedo preguntar a mi profesor. La forma en que lo hice es la siguiente. Sé que no es del todo riguroso (asumo que las series en cuestión convergen) así que me gustaría ver cómo se supone que lo hago.

Vemos que

$$\left(\begin{array}{rr} 0 & \epsilon \\ -\epsilon & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} \epsilon a_{10} & \epsilon a_{11} \\ -\epsilon a_{00} & \epsilon a_{01} \end{array}\right)$$

por lo que si dejamos que $a(i, j, k)$ ser la entrada $a_{ij}$ en el $k$ El poder de $A$ entonces vemos que

$$a(0, 0, k) = \epsilon a(1, 0, k-1)$$

$$a(1, 0, k) = -\epsilon a(0, 0, k-1)$$

Entonces, dejando $\alpha$ denotan las entradas de la suma sin $I$ sumado, vemos que

$$\begin{eqnarray*} \alpha_{00} &=& \sum_{k=0}^{\infty}a(0, 0, k) \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}a(0, 0, 2k + 1) \\ &=& \epsilon\sum_{k=0}^{\infty}a(1, 0, 2k) \\ &=& \epsilon\alpha_{10} \end{eqnarray*}$$

y

$$\begin{eqnarray*} \alpha_{10} &=& \sum_{k=0}^{\infty}a(1,0,k) \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}a(1,0,2k) \\ &=& -\epsilon + \sum_{k=1}^{\infty}a(1,0,2k) \\ &=& -\epsilon - \epsilon\sum_{k=1}^{\infty}a(0,0,2k-1) \\ &=& -\epsilon\left(1 + \sum_{k=0}^{\infty}a(0,0,2k+1) \right) \\ &=& -\epsilon\left(1 + \alpha_{00}\right) \end{eqnarray*}$$

así que $\alpha_{00} = \epsilon\alpha_{10}$ y $\alpha_{10} = -\epsilon(1 + \alpha_{00})$ que podemos resolver para el $\alpha$ 's.

Es más o menos lo mismo para los otros dos. Siento que tiene que haber una mejor manera de hacer esto.

Answer 1

Sugerencia: Utilice el hecho de que $A^2 = -\epsilon^2 I$ . (Entonces $A^3 = -\epsilon^2 A$ , $A^4 = \epsilon^4 I$ etc.)

Answer 2

Si no quieres usar la serie geométrica directamente en el espacio matricial, también puedes pensar en esto como el número complejo $-i\epsilon$ en la correspondencia $$a+bi\to\left(\begin{array}{cc}a&-b\\b&a\\\end{array}\right)$$ and use the geometric series (for complex numbers of norm less than 1) $$\sum A^n=\sum (-i\epsilon)^n=\frac{1}{1+i\epsilon}=\frac{1-i\epsilon}{1+\epsilon^2}= \frac{1}{1+\epsilon^2}\left(\begin{array}{cc}1&\epsilon\\-\epsilon&1\\\end{array}\right)$$