¿Existen las integrales sobre fractales?

Question

Dada, por ejemplo, una integral de línea como $$\int_\gamma f \; ds$$ con $f$ aún sin definir.

• ¿Qué ocurre si el contorno $\gamma$ ¿resulta ser una curva fractal?

Dado que todas las curvas fractales (que yo sepa) no son diferenciables y tienen una longitud infinita, deberíamos encontrarnos con algunos problemas. Otras cuestiones de interés son:

• ¿Qué ocurre si la integral se toma sobre un Conjunto de Julia?
• ¿Qué ocurre en el caso de una curva que llena el espacio? ¿Obtenemos entonces una integral de superficie?

Me encantaría, si alguien pudiera envolver su Superficie cerebral de 2,79 dimensiones de Hausdorff a su alrededor.

Answer 1

Sobre el comentario de @Thomas Rot: La integración de Lebesgue es justo lo que hay que hacer aquí. Sin embargo, si el fractal en cuestión es un subconjunto de algún espacio de medidas agradable, por ejemplo $\mathbb{R}^n,$ entonces la medida que se utilizará en la integración de Lebesgue no debería ser la medida de Lebesgue heredada. De lo contrario, se obtienen resultados tontos: la medida de Lebesgue de un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ de dimensión de Hausdorff estrictamente fraccionaria es, casi por definición, 0.

En su lugar, hay que utilizar la medida de Hausdorff como se especifica, por ejemplo, en el libro de Stein y Shakarchi Análisis Real, en las páginas 325--327. La definición es que el exterior $\alpha$ -medida de Hausdorff de un subconjunto $E \subset \mathbb{R}^d$ es $$m_\alpha^\ast(E) = \lim_{\delta \to 0} \inf \left\{\sum_k(\mbox{diam }F_k)^\alpha\ \left|\ E \subset \bigcup_{k=1}^\infty F_k,\ \mbox{diam }F_k \leq \delta\ \forall k\right.\right\}.$$ Se puede demostrar que se trata en realidad de una medida externa en el sentido de Caratheodory, y restringiéndola a los conjuntos de Borel se obtiene una medida. En Dimensión de Hausdorff de un subconjunto de Borel $E\subset \mathbb{R}^n$ es el mínimo de todos los $\alpha$ con $m_\alpha^\ast(E) = 0.$ Equivalentemente es la suma de todos los $\alpha$ con $m_\alpha^\ast(E) = \infty.$

Con esta medida se puede, presumiblemente, hacer integración y diferenciación de Lebesgue como de costumbre. (Aún así se podrían obtener resultados aburridos: digamos que el conjunto tiene dimensión de Hausdorff $\delta.$ Podría darse el caso de que el conjunto de $\delta$ -es 0).

Sin embargo, esto no es más que teoría general de la medida. Que yo sepa, la teoría de la integración orientada (por ejemplo, las integrales de línea y el teorema de Stokes) aún no se ha generalizado a los fractales, aunque existe una noción de Laplaciano en algunos fractales, como se explica en un artículo de Strichartz.

Si uno se contenta con quedarse en la teoría general de medidas, se obtiene el siguiente inquietante resultado, el teorema 3.1 del capítulo 7 de Stein y Shakarchi:

Existe una curva $\mathcal{P}:[0,1] \to [0,1]\times [0,1]$ tal que

• $\mathcal{P}$ es continua y suryectiva.
• La imagen bajo $\mathcal{P}$ de cualquier subintervalo $[a,b] \subset [0,1]$ es un subconjunto compacto del cuadrado de la medida de Lebesgue (bidimensional) $b - a.$
• Hay subconjuntos $Z_1 \subset [0,1]$ y $Z_2 \subset [0,1]\times[0,1],$ cada una de medida cero, tal que $\mathcal{P}|_{[0,1]\setminus Z_1}:[0,1]\setminus Z_1 \to [0,1]\times [0,1] \setminus Z_2$ es ¡biyectiva y preservadora de la medida!

(cue música inquietante )

Answer 2

Claro, hay varias formas de integrar sobre fractales. Jenny Harrison ha trabajado mucho usando cadenas, Boris Katz tiene algunos artículos que podrías buscar... hay esto usando medidas fractales http://arxiv.org/pdf/chao-dyn/9804006.pdf y http://www.minet.uni-jena.de/geometrie/publicat/pdffiles/iwrtff1_ptrf98.pdf utilizando el cálculo fraccionario. He estado formulando métodos utilizando el sistema de números hiperreales, donde, por ejemplo, el caso límite del conjunto de tercios medios de Cantor es un conjunto de intervalos cerrados de longitud infinitesimal. Se puede definir una integral sobre elementos infinitesimales, y luego sumar las integrales sobre todo el fractal. Véase también "Analysis on Fractals", de Robert Strichartz.

John Starrett