Supongamos $M$ es un finitely módulo generado sobre un anillo conmutativo $R$. Yo estaba pensando acerca de la relación entre el$\operatorname{End}_R M$$M_n(R)$. Supongamos que arregle un set de generación de energía $m_1, \dotsc, m_n \in M$.
No todas las matrices $(a_{ij}) \in M_n(R)$ representa a $R$ lineal auto-mapas de $M$ a través de $$m_i \mapsto \sum_j a_{ij}m_j,$$ debido a que algunos de ellos no respetan a las relaciones que pueden mantener entre el $m_i$. Si una relación se mantiene en $m_i$, la misma que había mantener mejor para las columnas de a $a_{ij}$. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_3$, con la habitual de dos generadores, la matriz de $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ no representa un mapa de abelian grupos. Así que tenemos que mirar a algunos subalgebra $S <M_n(R)$, lo que representa lineal auto-mapas de $M$.
Además, el hecho de que existen relaciones entre los generadores significa que, en general, una gran cantidad de matrices corresponden a las cero transformación. Así que parece que deberíamos pensar en la $\operatorname{End}_R M$ como cociente de $S$, por el ideal de las matrices que determinar el cero de la transformación. No veo ninguna razón por qué esto sería un dos caras ideal en $M_n(R)$, pero será en $S$.
Así que parece que cuando tratamos de hacer de la matriz de los cálculos cuando se trabaja con f.g. los módulos, así como cuando vamos a comprobar de Cayley-Hamilton y así sucesivamente, estamos buscando
$$M_n(R) \hookleftarrow S \twoheadrightarrow S/I \cong \operatorname{End}_R(M)$$
y trabajamos para que podamos hacer algunos matriz de cálculo dentro de $S$ que trabajo después de mod por $I$. (Supongo que en la comprobación de Cayley Hamilton, como aquí, estamos tomando el anillo a se $R[x]$.)
Nadie ofrece más aclarar perspectiva? Nunca he visto a fuentes que tratan como este, por lo que todas las referencias son bienvenidos.
