Mostrar que $f(z)=0$ todos los $z$ donde $f$ es una analítica de la función de la cerrada de la unidad de disco con condiciones adicionales.

Question

Esta es mi primera pregunta en el MSE:

Deje $D$ denotar la bola abierta de radio de la unidad sobre el origen en el plano complejo $\Bbb C$.

Deje $f$ ser un complejo continuo de valores de la función en su cierre de $D$ que es analítica en $D$. Si $f(e^{it}) = 0$$0 < t <\frac{\pi}{2}$ , muestran que $f(z) = 0 $ todos los $z$.

Aquí es lo que he intentado:

$f$ es analítica en $D$. Si puedo encontrar una secuencia $(z_n)_n$ $D$ tal que $f(z_n)=0\forall n$ y, además, $(z_n)_n$ tiene un punto límite en $D$, entonces hemos terminado.

Creo $f(e^{it}) = 0$ puede ayudar a encontrar una secuencia, pero no estoy seguro.

Será tan amable de ayudarme?

Answer 1

Deje $\omega \ne 1$ ser un 5-ésima raíz de la unidad ($\omega^5 = 1$) y definir $$ g(z) = f(z)f(\omega z)f(\omega^2 z)f(\omega^3 z)f(\omega^4 z) \, . $$ $g$ es analítica en la unidad de disco $\Bbb D$ y continua en el que el cierre debido a $f$ es.

Para cada $z \in \partial \Bbb D$, en el último de los puntos $z, \omega, z, \omega^2 z, \omega^3 z, \omega^4 z$ tiene un argumento entre el$0$$\pi/2$, por lo que el $g(z) = 0$ sobre el límite de la unidad de disco.

Ahora aplique el principio del máximo.

De la misma manera en que uno puede mostrar que $f$ es idéntica a cero si $f(z)=0$ en cualquier segmento del círculo unitario.

Otra opción sería el uso de la Schwarz reflexión principio (que es más avanzado el tema, sin embargo). Esto implica que $f$ puede ser continuado analíticamente a un mayor dominio que contiene el arco de $\{ e^{que} \mid 0 < t < \pi /2 \}$ en su interior. A continuación, la identidad teorema puede de ser aplicado.

Answer 2

$f(e^{it})$ es de tipo continuo, y por lo tanto los desplazamientos con la toma de límites.