Cómo imaginar espacios vectoriales (y espacios proyectivos) sobre un campo finito

Question

Por lo que he estado aprendiendo acerca de los espacios proyectivos de las últimas horas, y creo entender los fundamentos bastante bien, pero no es un ejercicio, que no sé cómo resolver. Se llega a ser capaz de imaginar y comprender espacios vectoriales y espacios proyectivos sobre un campo finito.

Digamos que, mi espacio proyectivo es un conjunto de todas la dimensiones de los subespacios de mi espacio vectorial. A continuación, cada línea en el espacio proyectivo tiene al menos uno, la mayoría del tiempo varios representantes más (en otras palabras: los vectores de dirección) que se extienden de la línea. La siguiente imagen muestra el plano proyectivo sobre un campo finito con 3 elementos (el Galois de Campo $GF(3)$). Ahora me gustaría encontrar una descripción de los puntos en estas imágenes, considerando que cada punto debe tener sus correspondientes representantes más. ¿Cómo puedo determinar que el vector pertenece a qué punto?

En $\mathbb{R}^3$ I puede ver muy bien que un vector $(1,0,0)$ abarca mi primer eje, pero, ¿qué acerca de un campo finito? Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Desde su pregunta menciona específicamente a los planos proyectivos, supongamos que tenemos las tres dimensiones del espacio vectorial $V = \Bbb F_q^3$$\Bbb F_q$, el campo finito con $q$ elementos (es decir, $GF(q)$ en su notación).

Una dimensiones de los subespacios
Vamos a empezar con el hecho de que una dimensión del subespacio $L$ tiene la forma $L = \{c \mathbf{v} : c \in \Bbb F_q\}$; se compone de todos los múltiplos escalares de algunos vectores $\mathbf{v} \in V$. En particular, hay muchos puntos en $L$ como existen escalares en $\Bbb F_q$: hay$q$, e $q - 1$ son cero.

Pero como usted ha señalado, no hay muchas dimensiones de los subespacios de $V$, ya que hay distinto de cero vectores en $V$ (al $V$ es finito, por lo menos); dos vectores $\mathbf{v}_1$ $\mathbf{v}_2 $ determinar el mismo subespacio cuando son múltiplos escalares de cada uno de los otros. Dicho de otra manera, ninguna de las $q - 1$ cero vectores en un uno-dimensional subespacio $L$ generar (en el sentido de que el "lapso de un conjunto de vectores") $L$.

Por lo tanto, contando distinto de cero vectores en $V$, hemos overcounted unidimensional subespacios por un factor de $q - 1$, por lo que hay

$$\frac{q^3 - 1}{q - 1} = 1 + q + q^2$$

una dimensiones de los subespacios de las tres dimensiones del espacio vectorial sobre $\Bbb F_q$. En el plano proyectivo ejemplo, tenemos $q = 3$, para un total de $1 + 3 + 9 = 13\ \checkmark$ -dimensiones de los subespacios de $V$ o puntos en el plano proyectivo.

Dos dimensiones de los Subespacios
Pensar acerca de las líneas en la imagen, tenemos que entender dos dimensiones de los subespacios de $\Bbb F_3^3$. Cada par de vectores distintos de cero $\mathbf{v}, \mathbf{w}$ donde $\mathbf{v} \neq c \mathbf{w}$ determina una de dos dimensiones en el subespacio de la forma $P = \{c_1 \mathbf{v} + c_2 \mathbf{w} : c_1, c_2 \in \Bbb F_q\}$. Este subespacio que contiene a $q^2$ vectores, y $q^2 - 1$ de ellos son diferentes de cero. Como hemos señalado anteriormente, no todos los pares de vectores en $P$ generar $P$: debemos tener cuidado de que no se encuentran en la misma una dimensión del subespacio. Podemos elegir cualquier vector distinto de cero en $P$ a inicio y, a continuación, cualquier vector no en el lapso de la primera; no se $(q^2 - 1)(q - 1)$ pares de $(\mathbf{v}, \mathbf{w})$ que abarcan $P$.

A contar de dos dimensiones de los subespacios, tomamos dos vectores distintos de cero en $V$ no, acostado en la misma una dimensión del subespacio, y luego tomar el cuidado de overcounting que surge debido a las múltiples maneras de generar el mismo plano: hay

$$\frac{(q^3 - 1)(q^3 - q)}{(q^2 - 1)(q^2 - q)} = 1 + q + q^2$$

dos dimensiones de los subespacios de tres dimensiones $V$, el mismo número de dimensiones de los subespacios! Alimento para el pensamiento: ¿no sería agradable si había una forma "natural" bijection entre el uno y de dos dimensiones de los subespacios, en nuestro espacio tridimensional?

Las dimensiones de los subespacios
A la lista de los puntos de este proyectiva del plano, podemos enumerar $13$ vectores en $\Bbb F_3^3$ que no mienten (pares) en la misma una dimensión del subespacio:

\begin{array}{lll} (c, 0, 0), & (0, c, 0), & (0, 0, c) \\ (0, c, c), & (c, 0, c), & (c, c, 0) \\ (0, 2c, c), & (2c, 0, c), & (2c, c, 0) \\ (c, c, 2c), & (c, 2c, c), & (c, c, 2c) \\ & (c, c, c), & \\ \end{array}

donde aquí $(2c, c, c)$$\{c(2, 1, 1) : c \in \Bbb F_3\}$.

Para conseguir un poco de experiencia con espacios vectoriales sobre campos finitos, en realidad se debe escribir los elementos en algunos de estos subespacios, y convencerse de que todos los $26$ cero vectores de $\Bbb F_3^3$ viven en exactamente una de estas dimensiones de los subespacios.

Específico de dos dimensiones de los subespacios
Estos son messier. Es fácil distinguir dos vectores linealmente independientes $\mathbf{v}, \mathbf{w}$ y escribir algunos de los subespacios $\operatorname{Span}(\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\})$, pero el listado de todos ellos, y sin repeticiones, es un poco tedioso (y no precisamente fácil!).

En su lugar, recordar que dos dimensiones de los subespacios siempre puede ser descrito como el conjunto de soluciones de una ecuación lineal $\{(x, y, z) : ax + by + cz = 0\}$ (tal y como estamos acostumbrados con espacios vectoriales sobre $\Bbb R$), y a cada ecuación es "el único" determinado por un vector $(a, b, c)$ normal para el subespacio. Esto es genial, ya hemos calculado todos los unidimensional subespacios! Con un poco de trabajo, nos pueden escribir lo genérico de los elementos en nuestros dos dimensiones de los subespacios aspecto:

\begin{array}{lll} (0, a, b), & (a, 0, b), & (a, b, 0) \\ (b, a, 2a), & (a, b, 2a), & (a, 2a, b) \\ (b, a, a), & (a, b, a), & (a, a, b) \\ (a, b, a + b), & (a, a+b, b), & (a+b, a, b) \\ & (a, b, 2a + 2b), & \\ \end{array}

donde, por ejemplo, $(a, b, a)$ representa el subespacio $\{a(1, 0, 1) + b(0, 1, 0) : a, b \in \Bbb F_3\}$. Además, en el mismo lugar como $(2c, 0, c)$ en la tabla anterior. Esto significa que los subespacios ortogonales: $(2c, 0, c) \cdot (a, b, a) = 2ac + ac = 3ac \equiv 0 \pmod 3$.

De nuevo a fomentar la familiaridad, sería bueno elegir un subespacio o dos y escribir todos los vectores en estos subespacios, así como la dimensiones de los subespacios que contiene.

La buena noticia aquí es que proyectiva aviones tienen un montón de simetría (de hecho, la suya ha 5616 automorfismos!); usted puede comenzar a construir una correspondencia entre los vectores y de los puntos en la imagen libremente, aunque antes de tiempo, usted tendrá que tener cuidado acerca de cómo se está construyendo cosas (para asegurarse de que los puntos en la misma línea se corresponden con una dimensiones de los subespacios en común de dos dimensiones subespacio). Es probablemente mejor para crear la imagen desde cero, utilizando la imagen como una guía de lo que debe suceder.

Una nota de precaución
Yo no escribo cosas para un general $n$-dimensional espacio vectorial, porque las cosas se ponen más complicadas. Otra fuente de dificultad es la estructura de $GF(p^n)$ primer $p$$n > 1$. Cuando usted está trabajando sobre $GF(p)$ primer $p$, las cosas son buenas: sólo estás trabajando en el ring $\Bbb Z /p\Bbb Z$, haciendo aritmética modulo $p$. Pero esto deja de ser el caso en $GF(p^n)$, y yo, personalmente, no sé cómo "rápidamente" en ese campo, que a menudo se construye como el cociente del polinomio anillo de $GF(p)[X]$ por un polinomio irreducible de grado $n$.

Esperemos que haya jugado con el plano de Fano demasiado, las cosas están muy bien allí!

Answer 2

Hay algunas decisiones que deben tomarse cuando pensamos en el escrito de los representantes de puntos en un determinado plano proyectivo, porque, en general, cada punto tiene más de una representación vectorial. Por esta razón, se suelen representar los puntos con vectores que se han ampliado para tener un "1" como el primer cero de la entrada (o tal vez como la última distinto de cero de la entrada en algunos libros). Para dejar claro que nos referimos a esto para representar un subespacio, dos notaciones para la utilización de las llaves angulares (para referirse a la vida de un vector) como en $$\langle (1,0,0) \rangle$$ o, para usar lo que se conoce como coordenadas homogéneas; estos son por lo general por escrito con dos puntos entre las entradas, tales como $$(1:0:0)$$ y la convención es que debemos ignorar las diferencias de un escalar múltiples. Debido a que hay tantos tipos de simetrías de un número finito de plano proyectivo, usted puede elegir cualquiera de los tres puntos (que no son todos en la misma línea) de la etiqueta $\langle (1,0,0) \rangle$, $\langle (0,1,0) \rangle$, $\langle (0,0,1) \rangle$.

Ahora, cuando usted desea rellenar en el vector de representantes para el resto de los puntos, sólo trabajo en el llenado de los mismos. Por ejemplo, la línea que contiene a $\langle (1,0,0) \rangle$ $\langle (0,1,0) \rangle$ sería denotado $\langle (1,0,0), (0,1,0) \rangle$; contiene los vectores representados por las combinaciones lineales de estos dos vectores, por lo que podemos ver que los otros dos puntos que debemos rellenar son $\langle (1,1,0) \rangle$$\langle (1,2,0) \rangle$. Podemos obtener únicos representantes de la línea de $\langle \bf{u}, \bf{v} \rangle$ considerando los vectores $\{\bf{v}\} \cup \{\bf{u} + \lambda \bf{v} \ : \ \lambda \in \mathbb{F} \}$ (a continuación de la escala de cada vector si es necesario para hacer el primer cero de entrada igual a 1).

Para la mayor parte usted puede elegir que apunta a la etiqueta con la que se coordina en el comienzo, trabajo en el que usted puede tener para configurar un sistema con un par de ecuaciones lineales y, a continuación, resolver para asegurarse de que su etiquetados son consistentes.