Evaluación de $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{4 + \sqrt{8 + \ldots}}}}$

Question

Inspirado en el problema de Ramanujan y la solución de $\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + \ldots}}}$ decidí intentar evaluar el radical infinito $$ \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{4 + \sqrt{8 + \ldots}}}} $$ Tomando como referencia el método de solución de Ramanujan, definí una función $f(x)$ tal que $$ f(x) = \sqrt{2^x + \sqrt{2^{x+1} + \sqrt{2^{x+2} + \sqrt{2^{x+3} + \ldots}}}} $$ Podemos ver que $$\begin{align} f(0) &= \sqrt{2^0 + \sqrt{2^1 + \sqrt{2^2 + \sqrt{2^3 + \ldots}}}} \\ &= \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{4 + \sqrt{8 + \ldots}}}} \end{align}$$ Y empezamos a resolver $$\begin{align} f(x) &= \sqrt{2^x + \sqrt{2^{x+1} + \sqrt{2^{x+2} + \sqrt{2^{x+3} + \ldots}}}} \\ f(x)^2 &= 2^x + \sqrt{2^{x+1} + \sqrt{2^{x+2} + \sqrt{2^{x+3} + \ldots}}} \\ &= 2^x + f(x + 1) \\ f(x + 1) &= f(x)^2 - 2^x \end{align}$$ En este punto me encuentro atascado, ya que tengo poca experiencia con las relaciones de recurrencia.

¿Cómo se resolvería esta relación de recurrencia? ¿Sería el método fácilmente extensible a $$\begin{align} f_n(x) &= \sqrt{n^x + \sqrt{n^{x+1} + \sqrt{n^{x+2} + \sqrt{n^{x+3} + \ldots}}}} \\ f_n(x)^2 &= n^x + f_n(x + 1)~\text ? \end{align}$$

Answer 1

Introducir la notación $[a_0]=\sqrt{a_0}$ y $[a_0,a_1]=\sqrt{a_0+\sqrt{a_1}}$ etc., incluidas las listas infinitas: $$[a_0,a_1,a_2,...]=\sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \cdots}}}=\sqrt{a_0+[a_1,a_2,\ldots]}.$$ En general $[a_0,a_1,\ldots]^2 = a_0 + [a_1,a_2,\ldots]$ por lo que para listas de término constante tenemos una solución de forma cerrada: $$ [x,x,\ldots]^2=x+[x,x,\ldots] \implies [x,x,\ldots]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+4x}. $$ Si $b_i \le a_i$ para cada $i$ es evidente que $[b_0,b_1,\ldots]\le[a_0,a_1,\ldots]$ . ¿Qué ocurre cuando se introduce un factor multiplicativo? Se tiene $$k[a_0,a_1,a_2,...]=\sqrt{k^2 a_0 + k^2[a_1,a_2,...]}=[k^2a_0,k^4a_1,k^8a_2,\ldots]$$ En tu caso, $[1,2,4,\ldots]=\sqrt{1+[2,4,8,\ldots]}=\sqrt{1+\sqrt{2}[1,1,1/2,1/16,\ldots]}$ . Utilizando los límites $$ \sqrt{2}=[1,1]\le[1,1,1/2,1/16,\ldots]\le[1,1,1,\ldots]=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}, $$ tienes $$ 1.732 \approx \sqrt{3} \le [1,2,4,\ldots] \le \sqrt{1+\frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}\approx 1.813. $$ Por supuesto, se pueden proporcionar límites más estrictos, pero esto basta para demostrar que el límite existe.

Answer 2

Sea $x_0 = \sqrt{1}$ , $x_1 = \sqrt{1 + \sqrt{2}}$ , $x_3 = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{4}}}$ etc. Entonces tenemos:

$$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{4 + \cdots}}} = \lim_{n \to \infty} x_n$$

Es evidente que esta secuencia es monotónicamente creciente. También converge, ya que podemos ver que cada nuevo término aparece bajo $n$ raíces cuadradas, y por tanto $| x_n - x_{n - 1} | \propto 2^{-n}$ que debería ser suficiente.

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A partir de la observación, el valor de $x_n - x_{n - 1}$ es una raíz de un polinomio de orden $2^{2n - 3}$ . En este sentido, es muy poco probable que exista una solución de forma cerrada. No es una respuesta completa, pero parece complicado.

Answer 3

Sólo un comentario sobre casos similares. De este breve responder , $$x+2^n=\sqrt{4^{n}+x\sqrt{4^{\left(n+1\right)}+x\sqrt{4^{\left(n+2\right)}+x\sqrt{...}}}}\tag{1}$$ Sea $N=\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{4 + \sqrt{8 + \ldots}}}}$ . Entonces $$\begin{aligned} N &< \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{4^{1}+\sqrt{4^{2}+\sqrt{4^{3}+...}}}}} \\ N &< \sqrt{1+\sqrt{5}} \\ &< 1.79890743995\\ \end{aligned}$$ Para comparar, $N 1.78316580926410..$ . También de la Ec. $1$ podemos conseguir; $$\boxed{1+\sqrt{2}=\sqrt{2^{1}+\sqrt{2^{3}+\sqrt{2^{5}+\sqrt{2^{7}...}}}}}$$ $$\begin{aligned} N &< \sqrt{1+\sqrt{2^{1}+\sqrt{2^{3}+\sqrt{2^{5}+\sqrt{2^{7}...}}}}} \\ &< \sqrt{2+\sqrt{2}} \\ \end{aligned}$$

Answer 4

Dado que tiene relación de recurrencia $(f(x))^2=2^x+f(x+1)$ se podría encontrar una solución aproximada aproximando $f(x+1)\approx f(x)$ y entonces se obtiene la ecuación cuadrática de la función $f$ y al hacerlo se puede encontrar un valor aproximado $f(x)$ para cada valor de $x$ . De la relación de recurrencia se deduce claramente que la expresión exacta para $f(x)$ puede que no sea expresable como alguna combinación de las funciones que se han estudiado hasta hoy, pero quizá me equivoque.

Si aún desea buscar formas cerradas para determinados valores de $f$ tal vez sea mejor estudiar expresiones de este tipo que sean finitas, como por ejemplo $f(2,x,n) =\sqrt{2^x + \sqrt{2^{x+1} + \sqrt{2^{x+2} + \sqrt{2^{x+3} +\sqrt {\ldots+\sqrt{2^{x+n}}}}}}}$ y luego dejar que $n\to\infty$ para obtener su $f$ .

Answer 5

Esto no es una respuesta a su pregunta, pero puede que le interesen las dos siguientes evaluaciones similares: $$\sqrt{1+\sqrt{4+\sqrt{16+\sqrt{64+...}}}}=2\tag{1}$$ $$\sqrt{1+2^{-1}\sqrt{1+2^{-2}\sqrt{1+2^{-3}\sqrt{1+...}}}}=\frac{5}{4}\tag{2}$$ Para demostrar $(1)$ se puede utilizar el hecho de que $$2^n+1=\sqrt{4^n+2^{n+1}+1}$$ y $(2)$ puede obtenerse de $(1)$ multiplicándolo por $1/2$ e invirtiendo el primer radical.