¿Cuál de los números enteros no se puede formar con $x^2+y^5$

Question

Así que, mi profesor en la escuela me pidió que resolviera este problema que realmente me tenía perplejo.El problema es el siguiente:Dado que $x$ y $y$ son números enteros, ¿cuál de los siguientes no puede expresarse en la forma $x^2+y^5$ ?

$1.)\ 59170$

$2.)\ 59012$

$3.)\ 59121$

$4.)\ 59149$

$5.)\ 59130$

¿Es posible una solución elegante y no un tedioso ensayo y error?

Answer 1

Creo que la respuesta es 59121. Acabo de utilizar el hecho de que el último dígito de la quinta potencia de un entero de $0$ a $9$ es el propio número. Además, sólo tenemos $5$ dígitos a elegir entre los últimos dígitos del cuadrado de un número, a saber $0,1,4,5,6,9$ . Ahora, para que el último dígito sea 1 tendré que elegir entre el cuadrado o la quinta potencia de $10n$ ( para algún número natural $n$ ) Y $11$ o viceversa, lo cual no es posible para el rango de enteros dado en las opciones.

También,

a) la suma de la quinta potencia de cualquiera de los enteros positivos con el último dígito como $6$ y el cuadrado de cualquier número entero con el último dígito como $5$

Y

b) suma de la quinta potencia de cualquiera de los enteros positivos con el último dígito como $5$ y el cuadrado de cualquier número entero con el último dígito como $4$ No es igual al número dado con el último dígito como $1$ es decir.., $59121$

Answer 2

El uso de $y^5$ me hace pensar que mirar el problema $\bmod 11$ - considerando los restos de la división por $11$ - sería útil.

Valores posibles de $x^2 \bmod 11 $ son $\{0,1,3,4,5,9\}$ y los posibles valores de $y^5 \bmod 11 $ son $\{0,1,10\}\equiv \{-1,0,1\}$

Las cifras indicadas $(59170,59012,59121,59149,59130)$ tienen restos de $(1,8,7,2,5)$ y el tercero de ellos no puede ser alcanzado por la expresión dada $x^2+y^5$

Por tanto, si se trata de una pregunta de respuesta única, la respuesta es sin duda la opción (3).

Answer 3

He encontrado $$59170=9^5+11^2$$ $$59012=8^5+162^2$$ $$59149=9^5+10^2$$ $$59130=9^5+9^2$$ y $59121$ no puede expresarse de esta forma.

Answer 4

Desde $9^5=59049$ la elección $y=9$ puede obtener 1.), 4.), 5.) con $x=11,\,10,\,9$ . De la misma manera, $x=162,\,y=8$ direcciones 2).

Demostrar que 3) es imposible sólo requiere un análisis del módulo 11; nótese que $59121=7$ . Las plazas son $0,1,4,9,5,3$ . Como 11 es primo, las quintas potencias no nulas son cuadradas a 1 por el Pequeño Teorema de Fermat, por lo que las quintas potencias son $0,1,10$ . Observe que no podemos obtener $7,18$ como sumas.