¿Cuántos subconjuntos del conjunto $\{1,2,\ldots,10\}$ contienen al menos un número impar?

Question

¿Cuántos subconjuntos del conjunto $\{1,2,\ldots,10\}$ contienen al menos un número impar?

Mi trabajo:
Lo que se me ocurre es restar la cantidad de subconjuntos que no contienen un solo número impar del número total de subconjuntos, ya que si lo calculamos para casos individuales (como $1$ número impar, $2$ números impares, $\ldots$) sería bastante largo.

Dado que no puede haber ningún número impar, el número máximo de elementos en el conjunto es $5$ (solo $5$ enteros pares están en el superconjunto).

Caso 1: $0$ elementos: $1$ conjunto

Caso 2: $1$ elemento: $5$ conjuntos ($1$ entero par en cada conjunto)

Caso 3: $2$ elementos: $(5)(5)$ conjuntos ($1$ elemento impar y $1$ par) $+\binom{5}{2}$ conjuntos (ambos elementos pares)
lo que da un total de $35$ conjuntos

Caso 4: $3$ elementos: $\cdots$

Problema:
Esto se está complicando y estoy bastante seguro de que me equivocaré si continúo. ¿Hay alguna otra forma de resolver esta pregunta?

Answer 1

Este es un caso clásico en el que es mucho más fácil mirar el espacio excluido.

Cualquier subconjunto sin al menos un número impar es un subconjunto de $\{2,4,6,8,10\}$.

Hay $2^{10}$ subconjuntos de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y $2^5$ subconjuntos de $\{2,4,6,8,10\}$. Por lo tanto, hay $2^{10}-2^5$ $=1024-32$ $=992$ subconjuntos de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ que incluyen al menos un número impar.

Answer 2

Otros ya han explicado la solución fácil, aquí hay una alternativa más similar a lo que intentaste.

Queremos saber cuántos subconjuntos contienen exactamente $k$ enteros impares, desde $k = 1$ hasta $5$, y suma.

• $k = 1$: $\binom{5}{1} = 5$ subconjuntos posibles de $\{1,3,5,7,9\}$
• $k = 2$: $\binom{5}{2} = 10$ subconjuntos posibles de $\{1,3,5,7,9\}$
• $k = 3$: $\binom{5}{3} = 10$ subconjuntos posibles de $\{1,3,5,7,9\}$
• $k = 4$: $\binom{5}{4} = 5$ subconjuntos posibles de $\{1,3,5,7,9\}$
• $k = 5$: $\binom{5}{5} = 1$ subconjunto posible de $\{1,3,5,7,9\}$

En cada caso, podemos agregar algunos enteros pares, por lo que multiplicamos por $2^5 = 32$. Entonces,

$2^5 \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} = 32 (5+10+10+5+1) = 992

Pero efectivamente esto puede ser más simple:

$2^5 \sum_{k=1}^5 \binom{5}{k} = 2^5 \left( \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} - \binom{5}{0} \right) = 2^5 \left( 2^5 - 1 \right) = 2^{10} - 2^5 = 992

Answer 3

Un subconjunto de $\{1,2,\ldots,10\}$ que contiene al menos un número impar es de la forma $A \cup B$, donde $A$ es un subconjunto de $\{2,4,6,8,10\}$ y $B$ es un subconjunto no vacío de $\{1,3,5,7,9\}$. El conjunto $\{2,4,6,8,10\}$ tiene $2^5=32$ subconjuntos. El conjunto $\{1,3,5,7,9\}$ tiene $2^5=32$ subconjuntos, de los cuales $31$ no son vacíos. Por lo tanto, la respuesta es $32 \cdot 31 = 992$.

Answer 4

¡No importa, lo entendí...gracias sumplectomorphic!

Número total de subconjuntos= $2^{10}$
Número total de subconjuntos sin números impares son subconjuntos de $\{ 2,4,6,8,10 \}$
Número de subconjuntos sin números impares= $2^5$

Por lo tanto, el número total de subconjuntos con al menos un número impar está dado por $2^{10}-2^5$