¿Deben las raíces imaginarias venir en pares conjugados?

Question

Estoy al tanto de que para cualquier polinomio con coeficientes reales, las raíces imaginarias (si las hay) deben venir en pares complejos. Sin embargo, siempre creí que aún podrías tener un número imaginario - sin un conjugado - como raíz. Sin embargo, me encontré con la pregunta:

¿Cuál de los siguientes es un polinomio con raíces $0$, $4$ e $i$.
a. $x^3 - 4x^2 + x - 4$
b. $x^3 - ( 4+i )x^2 + 4ix$
c. $x^4 - 4x^3 + x^2 - 4x$
d. $x^2 - 4x$
3. $x^4 - 4x^3 + x^2 + 4x$

Usando las raíces $0, 4$, e $i$, encontré los factores como $(x)(x-4)(x-i)$, lo cual se simplifica a la opción b, $x^3 - ( 4+i )x^2 + 4ix$. Sin embargo, la respuesta en el libro dice:

C Las raíces complejas ocurren en pares conjugados. Si $i$ es una raíz del polinomio, entonces $-i$ también es raíz. Usa las cuatro raíces para determinar los factores del polinomio. Luego multiplica para obtener el polinomio.
$(x)(x-4)(x-i)(x+i)$
...
$x^4 - 4x^3 + x^2 - 4x$

No estoy seguro de cómo pueden asumir que hay pares conjugados complejos, ya que no hay restricciones de que los coeficientes sean reales.

Answer 1

La respuesta del libro no tiene sentido. Tu cálculo da un polinomio con raíces en $0,\,4,\,i$ como se desea y es una forma muy directa de encontrar el polinomio mínimo que tendrá una raíz en todos esos lugares. De manera más simple, se puede ver este fenómeno ya que $x-i=0$ es un polinomio con una sola raíz en $i$. Las raíces complejas solo vienen necesariamente en pares conjugados para polinomios con coeficientes reales. Como señalas, la respuesta del libro sería correcta si te pidieran encontrar un polinomio real con esas raíces.

(Sin mencionar que esta pregunta es terriblemente ambigua, ya que no parece claro si el polinomio debería tener solo esas tres raíces, o si esas tres deberían estar entre las raíces, en cuyo caso tanto (b) como (c) funcionarían)

Answer 2

Mientras que la respuesta de Milo Brandt es perfecta, quiero dar una rápida demostración de que las raíces no reales de un polinomio real deben venir en pares conjugados. Dado cualquier número complejo $x$, usaré "$x^*$" para denotar el conjugado complejo de $x$. Además, dado cualquier polinomio complejo $f$, usaré "$f^*$" para denotar que $f$ con cada coeficiente reemplazado por su conjugado.

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Toma cualquier polinomio real $f$ y cualquier raíz compleja $r$ de $f$.

Luego, mediante la división larga, podemos encontrar un polinomio complejo $g$ y una constante compleja $c$ de manera que para todo número complejo $x$ tengamos que $f(x) = g(x) \cdot (x-r) + c$. Entonces $0 = f(r) = g(r) \cdot 0 + c = c.

Ahora simplemente toma el conjugado en ambos lados de la igualdad y usa las propiedades básicas de la conjugación compleja para obtener $f^*(x^*) = g^*(x^*) \cdot (x^*-r^*)$ para cualquier número complejo $x$.

Pero $f^* = f$ ya que $f$ tiene solo coeficientes reales, y podemos aplicar la identidad anterior al caso donde $x = r$.

Así que $f(r^*) = g^*(r^*) \cdot 0 = 0.

Por lo tanto, $r^*$ es una raíz de $f$.