¿Existe algo similar a los teoremas de incompletitud de Gödel en la física?

Question

Teoremas de incompletitud de Gödel básicamente establece el hecho de que hay limitaciones en ciertas áreas de las matemáticas en cuanto a lo completas que pueden ser.

¿Existen teoremas similares en la física que marquen la línea de lo que se puede conseguir en la física en cuanto a la exhaustividad?

Answer 1

No, no hay ni puede haber una afirmación similar en física. Esto se debe a que podemos saber todo lo que hay que saber sobre los sistemas matemáticos que construimos; al fin y al cabo, los hemos creado nosotros mismos (pero entonces el teorema de incompletitud de Gödel nos dice que puede haber características de ciertos sistemas que sigan siendo incognoscibles; siento haber estropeado lo que dice realmente el teorema, por cierto).

La física, en cambio, intenta en última instancia modelar la realidad. El problema es que no tenemos forma de conocer la realidad en sí misma; ni siquiera podemos estar seguros de que exista la realidad, aunque lo consideremos un axioma fundamental de la física. Por tanto, lo único que podemos hacer es proponer modelos para la realidad que experimentamos. No podemos saber cuál puede ser la relación de esos modelos con la realidad tal y como es.

Answer 2

Primero voy a cambiar un poco esta pregunta. Consideremos los estados cuánticos como información cuántica o bits cuánticos procesados por máquinas de Turing (MT) gobernadas por hamiltonianos. Podemos pensar que el proceso de borrado de símbolos en un movimiento de la máquina de Turing se recupera con registros auxiliares, por lo que los procesos irreversibles son un problema que se puede evitar. Yo diría que es mejor reflexionar sobre si la exhibición de la incompletitud algorítmica demostrada por Alan Turing, de que no existe una máquina de Turing universal (UTM) que pueda determinar el estado de detención, o como resulta una serie de otras características, de todas las máquinas de Turing posibles, se aplica a la evolución mecánica cuántica. Así pues, tenemos algún hamiltoniano, si el sistema es algebraico de Lie, que viene dado por el producto de las raíces que actúan como operadores de subida y bajada, y el sistema evoluciona de una manera de manual. ¿Puede haber algún tipo de incompletitud algorítmica con esto?

En primer lugar, voy a decir que la mayoría de los físicos o bien se encogen de hombros o bien se ponen bastante "irritados" por la propuesta. La mayoría de los físicos piensan que no. Por supuesto, si la mayoría de los físicos piensan esto y usted no tiene nada más que hacer, ¡entonces al menos reflexione sobre la posibilidad! También diré como segunda opinión en este párrafo que francamente no tengo ninguna idea segura sobre esto, pero ¿por qué no pensar al menos en la posibilidad? Lo peor que puede pasar es que me equivoque.

¿En qué parte de la física puede darse este carácter incompleto? Yo diría que una posibilidad es con la medición cuántica. La mecánica cuántica es perfectamente determinista y calcula la evolución de amplitudes cuyo módulo cuadrado da probabilidades de resultados en una medición. Sin embargo, no tenemos ninguna teoría sobre cómo se obtiene realmente un resultado. No existe una dinámica para ello, y los intentos de hacerlo chocan con el teorema de Bell y otras limitaciones de la mecánica cuántica. Sin embargo, ¡la naturaleza produce un resultado! Las interpretaciones cuánticas tienen agujeros y reducen efectivamente la mecánica cuántica a categorías metafísicas que se quedan cortas. Podemos pensar en el proceso de medición como un conjunto de estados cuánticos que son medidos por otro conjunto de estados cuánticos, normalmente muchos más estados cuánticos, y al final esto es una especie de bucle autorreferencial. Esto es similar a una UTM que emula a otras TM, o a un predicado que actúa sobre los números de Godel para los predicados del primer teorema de Godel.

Para dar un posible caso físico de un sistema consideremos la métrica Reissnor-Nordstrom de los agujeros negros (BH). El diagrama de Penrose que aparece a continuación ilustra las geodésicas nulas que entran en el BH y que se acumulan cerca de $r_+$ . Supongamos que en la región exterior hay una máquina de Turning que computa un problema de no-calidad. El observador infalible en un agujero negro eterno detecta en principio la computación en un período de tiempo finito. El observador infalible o el ordenador puede ser una máquina de Turing universal que determina el estado de detención de cualquier máquina de Turing posible. Se trata de un espaciotiempo de Malament-Hogarth (MH) que es como una máquina de hiperTuring capaz de resolver problemas no computables. Un BH en principio absorbe qubits y permite a los observadores interiores deducir si cualquier problema se detendrá o no. Este argumento es válido para un BH eterno, mientras que en realidad los BH emiten radiación Hawking y no son eternos. Además, estos BHs tienen un pelo cuántico complejo. El diagrama ha sido adulterado para ilustrar esto donde el BH tiene una duración finita. En consecuencia, un BH con pelo no podrá determinar si todas las máquinas de Turing posibles se detienen, pero sí podrá determinar si un número significativo lo hará. Esto ajustará la probabilidad de detención de Chaitin relacionada con la constante de Chaitin. Si una máquina de Turing puede detenerse o no, se da una probabilidad no computable universalmente. En consecuencia, los dados han sido cargados favorablemente de alguna manera desconocida para decidir el estado de detención. Una máquina de Turing física es una versión truncada del ideal.

Potencialmente el teorema de Godel tiene alguna relación con la conciencia. Douglas Hofstadter escribió un entretenido libro $\it Godel~Escher~Bach$ que exploró la idea de la conciencia como autorreferencia. El teorema de Goedel y el teorema de Loeb permiten que la indemostrabilidad se plasme en la lógica modal, véase Boolos Burgess y Jefferies "Computabilidad y Lógica". Para $\square$ que significa necesariamente y una proposición $p$ entonces $\square p~\rightarrow~p$ es verdadera, pero el teorema de Godel indica $\exists p:p~\rightarrow~\neg\square p$ . Este es un ejemplo contrario al argumento que Anslem dio para la existencia de Dios. Esto significa que una proposición que es un punto fijo de algún predicado construido a partir de funciones demostrables y verdaderas es equivalente a una combinación funcional de enunciados falsos. Esto significa que en un sentido modal que $\neg\square\neg~=~\Diamond$ , que significa posiblemente, indica una especie de "libertad" que existe en las matemáticas. En el sentido de la computación, un sistema, como una máquina de Hyper-Turing truncada, puede estimar el valor de verdad de las proposiciones según el número de Chaitin $\Omega$ .

Puede ser que la conciencia sea también una máquina de hiper-Turing truncada que se aproxima al ideal de un sistema completamente autorreferencial que puede "salirse de un algoritmo" o dar un salto de imaginación. Un sistema truncado puede ser capaz de realizar estas acciones, pero no de forma completa "como Dios". Una máquina hiper-Turing ideal es capaz de realizar operaciones "transprobables", que pueden incluir la elección entre "axiomas" no comprobables para construir un modelo necesario para la función de ese sistema. Para un sistema físico, el sistema no es perfecto, y en el mejor de los casos puede funcionar bajo los límites de las probabilidades de Chaitin no demostrables. Existe entonces una relación $\Diamond~\leftrightarrow~\Omega$ que opera dentro de estos límites. El hecho de que esto implique $\Diamond$ o posibilidad significa que, desde una perspectiva física, existe una entropía relativa de los estados asociada a esta incertidumbre.

Esto toca la física de la gravedad cuántica, y en muchos sentidos he pensado que las cuestiones relativas a la decoherencia de la función de onda en la radiación de Hawking tenían conexiones con el problema de la medición. Podríamos entonces reflexionar sobre la relación de esto con las matemáticas. El muy posible sistema Freudenthal de triples de $E_8$ o ${\cal O}^3$ podría ser una estructura subyacente a la teoría de cuerdas. Esto contiene la $26$ cuerda bosónica dimensional, y también contiene la red de Leech. La red de Leech o el grupo de Mathieu esporádico ${\cal M}_{24}$ es el automorfismo del grupo "Monstruo" de Fischer-Greiss. A su vez, se ha descubierto que esto tiene implicaciones con la teoría de números, denominada "moonshine" o "umbral moonshine". A mi perro negro le puse el nombre de umbral. Ahora podemos ver cómo de alguna manera sutil en las matemáticas que el teorema de Godel podría levantar la cabeza.

Así que esto es bastante especulativo, y sé que habrá quienes no estén contentos con esto. Sin embargo, las personas que siguen las reglas y hacen siempre lo que se les dice rara vez aparecen en la historia.

Answer 3

Durante mucho tiempo, me ha fascinado un conjunto de teoremas que parecen definir el límite del universo conocible. Y con ello no me refiero sólo al límite de lo que conocemos hoy, que se ampliará cuando aprendamos más mañana. Me refiero a los límites absolutos de la ciencia y la razón, más allá de los cuales nunca podremos aventurarnos, por muy inteligentes que seamos. Estos metateoremas de frontera incluyen lo siguiente:

• La incertidumbre de Heisenberg (Física) - Hay un límite a la precisión precisión con la que podemos medir las propiedades de los objetos físicos.
• Desigualdad de Bell (Física) - Ese límite se aplica no sólo a nuestra capacidad de medir cosas con precisión, sino a nuestra capacidad fundamental para saber cosas sobre los objetos físicos.
• Incompletitud de Gödel (Matemáticas) - Cualquier intento de explicar Todo intento de explicar todo con un pequeño (er) conjunto de axiomas está condenado a ser inconcluso o equivocado.
• La indecidibilidad de Turing (informática) - Hay infinidad de problemas problemas que no pueden ser resueltos por ningún ordenador digital.
• La irreductibilidad de Chaitin (Informática y Matemáticas) - Casi todos los número (probabilidad = 1) es "aleatorio" en el sentido de que no puede ser calculado por un algoritmo mucho más corto que los dígitos del número. Es decir, el nombre más corto del número es el propio número mismo. El azar existe tanto en las matemáticas como en la física.

Fíjate en la última palabra de cada uno de los nombres de los teoremas. Cada uno de ellos expresa una negativa. Cada uno de ellos nos dice algo sobre lo que no podemos hacer, a dónde no podemos ir, lo que no podemos, bajo ninguna circunstancia, saber. La intuición sugiere que estos cinco principios, a pesar de sus diferentes campos de aplicación, están relacionados de algún modo. De hecho, parecen ser exactamente los mismos, o al menos se derivan del mismo fenómeno subyacente. A saber, esto: La aleatoriedad fundamental existe. No es sólo una pequeña verruga en nuestro mundo lógico, sino un océano insondable que lo rodea. No podemos saber nunca lo que ocurre en este océano de aleatoriedad. Sólo podemos vislumbrar la forma de la costa de nuestra pequeña isla de la razón, tal y como empiezan a iluminar los teoremas y principios enumerados anteriormente.

En el caso concreto de la física, el Principio de Incertidumbre de Heisenberg dice básicamente que ciertos pares de propiedades de los objetos físicos -cosas sencillas como dónde está y a qué velocidad va- no pueden medirse simultáneamente con perfecta precisión. Cuanto más cuidadosamente se mida la posición de, por ejemplo, un electrón, menos seguridad se tendrá sobre su velocidad en ese mismo momento. Si se mide la posición con mucho, mucho, mucho cuidado, entonces cualquier número que se observe para la velocidad carece esencialmente de sentido; es aleatorio más allá de un cierto número de decimales. Ahora bien, este límite en la precisión de estas mediciones combinadas es bastante insignificante para los objetos más grandes, como las bolas de bolos o los balines, pero para las cosas pequeñas, como los electrones y los fotones, supone una diferencia. El límite combinado de nuestra precisión de medición está determinado por la constante de Plank reducida, que tiene una precisión de unos 35 decimales. Más allá de eso, las propiedades físicas son universalmente inmensurables.

La HUP puede entenderse pensando en cómo afectan las mediciones al objeto que se mide. Para medir la posición de un electrón hay que iluminarle, y una medición más precisa requiere fotones de menor ancho de banda y mayor energía. Cuando el electrón es impactado por el fotón de alta energía, su velocidad se ve afectada, introduciendo así la aleatoriedad.

Y así es como se presentó y se habló al principio, como un límite a la precisión experimental. El libro de texto de Física Cuántica que utilicé en la universidad, la edición de 1974 de Quantum Physics, de Eisberg y Resnick, explicaba el Principio de Incertidumbre diciendo: "nuestra precisión de medición está inherentemente limitada por el propio proceso de medición [...]". Albert Einstein, y muchos otros prominentes contemporáneos de Heisenberg, creían que todavía debía haber un conjunto subyacente de "variables ocultas" que controlaran el universo y proporcionaran respuestas precisas y deterministas a cualquier pregunta, aunque estuviéramos siempre limitados en nuestra capacidad de verificar experimentalmente esas respuestas debido al Principio de Incertidumbre.

Einstein, junto con sus colegas Boris Podolsky y Nathan Rosen, llegó a escribir un famoso artículo en el que, casi en tono de burla, demostraban que la Mecánica Cuántica debía estar equivocada, pues de lo contrario el mundo tal y como lo conocemos sería un lugar realmente extraño. Para ello, asumieron sólo dos cosas aparentemente obvias sobre el mundo. En primer lugar, que los objetos tienen propiedades intrínsecas como la posición y la velocidad, incluso cuando nadie las mide. A esto lo llamaron "realidad". Y segundo, que las mediciones de la realidad en un lugar y tiempo no pueden afectar instantáneamente a otras realidades lejanas, una propiedad que llamaron "localidad". Einstein, Podolsky y Rosen dijeron básicamente que quién querría vivir en un mundo en el que la realidad y la localidad no se mantuvieran. En otras palabras, creían que nuestro amable y ordenado universo no podía ser intrínsecamente aleatorio.

Pero se equivocaron.

En 1964, el profesor John Stewart Bell demostró un resultado que algunos han llamado "el descubrimiento más profundo de la ciencia". El modesto título de su brillante artículo, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, hacía referencia a la "paradoja" esbozada por Einstein y sus compañeros. Bell demostró que el universo es, de hecho, fundamental, inherente e ineludiblemente aleatorio. Más concretamente, demostró que ninguna teoría determinista basada en variables ocultas podría explicar todos los resultados observados de la Mecánica Cuántica. Y si eso significa que no existe la realidad o la localidad, que así sea. O el principio de realidad o el principio de localidad (o ambos) no se aplican en nuestro universo. Un lugar extraño, sin duda.

El principio de incertidumbre de Heisenberg no es sólo un límite a la precisión con la que podemos medir las cosas. Es un límite a lo que podemos saber sobre el universo en el que vivimos. Hay magnitudes físicas que son universalmente imprevisibles. En la base misma de nuestro mundo físico familiar, se encuentra el Azar Divino.

Más información El divino azar .

Answer 4

Las matemáticas son el lenguaje llevado a los límites de la objetividad y la precisión, donde todos los conceptos están claramente definidos e interrelacionados, y sus articulaciones se rigen por reglas explícitas. En ese contexto, el teorema de Gödel afirma una incompletud fundamental del propio lenguaje.

Mientras definamos la física por lo que sabemos del mundo, está sometida a la misma limitación: el lenguaje nunca será lo suficientemente completo para describir el mundo, porque el lenguaje en su propia esencia es intrínsecamente limitado.

Ahora bien, la física es algo más que la elaboración de una descripción de la realidad: es una interacción real con la realidad, a niveles cada vez más sutiles y profundos. No hay ningún indicio de que haya un límite duro en ese esfuerzo.

Answer 5

Sí, existen ciertos "teoremas de incompletitud" en física. El que conozco es el de la "indecidibilidad de la brecha espectral" en la física cuántica de muchos cuerpos. Un reciente preimpresión así como un artículo arbitrado en Naturaleza describir la situación de forma más completa. A continuación se reproduce el resumen del artículo en Naturaleza que da un mejor resumen de la prueba de lo que yo podría presumir.

La brecha espectral -la diferencia de energía entre el estado básico y el primer estado excitado de un sistema- es fundamental para la física cuántica de muchos cuerpos física cuántica de muchos cuerpos. Muchos problemas abiertos, como la conjetura de Haldane de Haldane, la cuestión de la existencia de fases líquidas topológicas de espín de espín topológico y la conjetura de la brecha de Yang-Mills, tienen que ver con las brechas espectrales. espectral. Estos y otros problemas son casos particulares del problema general de problema de la brecha espectral: dado el Hamiltoniano de un sistema cuántico de muchos cuerpos de un sistema cuántico de muchos cuerpos, ¿se trata de un sistema con brecha o sin ella? Aquí demostramos que este es un problema problema indecidible. Específicamente, construimos familias de sistemas cuánticos de de espín en una red bidimensional con invariantes de traslación invariante, interacciones de vecino más cercano, para las que el problema de la brecha espectral es indecidible. Este resultado se extiende a la indecidibilidad de otras propiedades de baja energía, como la existencia de correlaciones de estado correlaciones en el estado básico. La prueba combina técnicas de complejidad hamiltoniana complejidad hamiltoniana con tilings aperiódicos, para construir un hamiltoniano cuyo estado básico codifica la evolución de un algoritmo cuántico de estimación de fase de fase cuántica seguido por una máquina de Turing universal. La brecha espectral depende del resultado del correspondiente "problema de detención". Nuestro resultado resultado implica que no existe ningún algoritmo para determinar si un modelo arbitrario tiene o no brecha, y que existen modelos para los que la que la presencia o ausencia de una brecha espectral es independiente de los axiomas de las matemáticas.