¿Se puede expresar la derivada de la Zeta de Hurwitz en la Zeta de Hurwitz?

Question

¿Puede expresarse la derivada de la función Zeta de Hurwitz por el primer argumento en términos de Zeta de Hurwitz y fucciones elementales?

Existe una fórmula que expresa la Zeta de Hurwitz a través de su derivada:

$$\zeta '\left(z,\frac{q}{2}\right)-2^z \zeta '(z,q)+\zeta '\left(z,\frac{q+1}{2}\right)=\zeta(z,q)2^{z}\ln 2$$

Así que me pregunto si se puede hacer lo contrario.

Answer 1

Obsérvese que la derivada de la función zeta de Hurwitz se puede calcular de la siguiente manera (similar al cálculo de la derivada de la zeta de Riemann):

\begin{align} \frac{d}{ds} \zeta(s,q) &= \frac{d}{ds} \sum_{n=0}^{\infty} (n+q)^{-s} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{ds} (n+q)^{-s} \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} - \ln(n+q) (n+q)^{-s} \\ &= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\ln(n+q)}{(n+q)^s} \end{align}

Porque $\ln(n+q)-\ln(n+q-1) = \ln\left(\frac{n+q}{n+q-1}\right)$ En realidad, lo tenemos:

$$\zeta'(s,q) = - \ln(q) \zeta(s,q) + \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(\frac{n+q-1}{n+q}\right) \zeta(s, n+q)$$

Dudo que exista una relación más agradable.