¿Cuál es el significado práctico de un subconjunto de ser denso en ninguna parte en otro conjunto? ¿Qué quiere decir que aparte de la definición (su cierre no tener los puntos del interior)?
Respuesta
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Frangello
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21
Históricamente, creo que la idea surgió como un natural de la condición opuesta a la de los que están por todas partes densas. Supongamos que $D$ está en todas partes densas en $\mathbb R$. A continuación, $D$ también es denso en cada intervalo abierto de $\mathbb R$. Por el contrario, si $D$ es denso en cada intervalo abierto de $\mathbb R$, $D$ está en todas partes densas en $\mathbb R$. El recíproco es inmediato debido a $\mathbb R$ sí es un intervalo abierto, pero si esto parece como el engaño, tenga en cuenta que el resultado aún se mantiene si nos restringimos a delimitadas abrir intervalos. Por lo tanto, podemos decir que el $D$ está en todas partes densas en $\mathbb R$ si y sólo si $D$ está "en todas partes localmente denso en $\mathbb R$".
Por lo tanto, un subconjunto $E$ $\mathbb R$ no es denso en todas partes en $\mathbb R$ si y sólo si $E$ no es denso en algún intervalo abierto (es decir, $E$ no es localmente denso en algún lugar).
Una gran manera para que un subconjunto $N$ $\mathbb R$ a no ser en todas partes densas en $\mathbb R$ es la propiedad de no ser denso en cada intervalo abierto (es decir, $N$ no es localmente denso en todas partes). De esta manera más fuerte es exactamente lo que es estar en ninguna parte densa medios.
Podría ayudar a pensar de estas propiedades como describir los conjuntos que están en todas partes grandes, en algún lugar grande, y ningún lugar grande. O, en lugar de "grande", puede utilizar el "grueso".
