Se puede encontrar dos no constantes de meromorphic funciones $f,g$ tal que $f^3 +g^3=1$?
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Grzenio
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Sí. De acuerdo a la observación 2 en p.236 de Remmert del libro, temas Clásicos en función compleja teoría, Springer GTM 172, (más o menos) explícito que puede ser el ejemplo dado por el uso de la Weierstrass $\wp$-función asociada a la celosía triangular $\{m + n e^{2\pi i /3}\,:\,m,n \in \mathbb{Z}\}$. Esta función satisface la ecuación diferencial $$(\wp')^2 = 4 \wp^3 - g_2 \wp - g_3 \qquad \text{con}\; g_2 = 0 \; \text{y} \; g_3 = \pm \frac{\Gamma\big(\frac{1}{3}\big)^{18}}{(2\pi)^6}.$$
Poner $a = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\phantom{|}g_{3}}$ y $b = \dfrac{1}{\sqrt{24a}}$ las funciones $$f = \frac{a + b\, \wp'}{\wp} \qquad \text{y} \qquad g = \frac {- b\,\wp'}{\wp}$$ satisfacer $f^3 + g^3 = 1$ por la anterior ecuación diferencial (los valores de $a$ y $b$ son encontrados mediante el ansatz $\big(a + b\,\wp'\big)^3 + \big(a - b\,\wp'\big)^3 = \wp^3$ y la ecuación diferencial).
Observar sin embargo que los ceros de $\wp$ y los polos de $\wp'$ son polos de tanto $f$ y $g$ y, de hecho, de acuerdo con la proposición en la misma página, esto es necesariamente el caso (por una hermosa aplicación del teorema de Picard). De hecho, esta propuesta establece que: Si $f$ y $g$ se meromorphic funciones en $\mathbb{C}$ satisfacer $\,f^n + g^n = 1$ $n \geq 3$ entonces $f$ y $g$ son tanto, ya sea constante o que tienen en común los polos. Añadido: En efecto, como user8268 señala en su comentario a continuación, se puede mostrar que en realidad hay no hay no-constante de tales funciones por $n \geq 4$ (muchas gracias por eso!). Esto también es aludido por Remmert en su comentario 1 en la misma página 236.
Ver Remmert del libro para más detalles.
Añadió Más Tarde.
Los enlaces en la página de la Wikipedia, me tropecé con Hans Lundmark es hermosa página en la elíptica funciones donde se pueden encontrar algunas de dominio para colorear parcelas de unos $\wp$-funciones hacia el final de la página.
Andrew
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Como ya he mencionado en este otro post, A. C. Dixon estudiado en 1890 una clase de funciones elípticas basado en la inversión de la Abelian integral
$$\int\frac{\mathrm dt}{\left(1-t^3\right)^{2/3}}$$
(en realidad, estudió una clase más general de la elíptica de las funciones basadas en la cúbico $x^3+y^3-3\alpha xy=1$, pero voy a limitarme a el caso de que $\alpha=0$ y remite a los interesados a Dixon del papel para el caso general.)
En particular, hay dos Dixon elíptica funciones $\mathrm{sm}(z,0)=\mathrm{sm}(z)$ y $\mathrm{cm}(z)$ que satisfacer $\mathrm{sm}^3(z)+\mathrm{cm}^3(z)=1$ y un montón de otras identidades, y puede ser expresada en términos de Weierstrass $\wp$:
$$\mathrm{sm}(z)=\frac{6\wp\left(z;0,\frac1{27}\right)}{1-3\wp^\prime\left(z;0,\frac1{27}\right)}$$
$$\mathrm{cm}(z)=\frac{3\wp^\prime\left(z;0,\frac1{27}\right)+1}{3\wp^\prime\left(z;0,\frac1{27}\right)-1}$$
Ambos tienen el independiente períodos de $\pi_3=B\left(\frac13,\frac13\right)$ (donde $B(a,b)$ es la función beta) y $\pi_3\exp(2i\pi/3)$, y tiene polos en los puntos $z=\frac23\pi_3+k\pi_3,\;k\in\mathbb Z$ en la línea real, así como tener un total de siete poles y tres ceros en cada uno de los "fundamentales hexágono". Como se puede deducir, estos están relacionados con las soluciones generales en Theo respuesta, debido al hecho de que la función de Weierstrass satisface la homogeneidad de las relaciones.
Andrew
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140
Como un apéndice de la de tipo a Theo la respuesta de las dos funciones $f$ y $g$ en la respuesta puede ser simplificado mediante el uso de la homogeneidad de las relaciones
$$\wp\left(cz;\frac{g_2}{c^4},\frac{g_3}{c^6}\right)=\frac1{c^2}\wp\left(z;g_2,g_3\right)\quad \wp^\prime\left(cz;\frac{g_2}{c^4},\frac{g_3}{c^6}\right)=\frac1{c^3}\wp^\prime\left(z;g_2,g_3\right)$$
Centrándose en el caso de positivo de $g_3$ (el tratamiento negativo de $g_3$ es similar), tenemos
$$f(z)=\frac{3+\sqrt{3}\wp^\prime\left(\frac{\Gamma(1/3)^3}{2\pi}z;0,1\right)}{6\wp\left(\frac{\Gamma(1/3)^3}{2\pi}z;0,1\right)},\quad g(z)=\frac{3-\sqrt{3}\wp^\prime\left(\frac{\Gamma(1/3)^3}{2\pi}z;0,1\right)}{6\wp\left(\frac{\Gamma(1/3)^3}{2\pi}z;0,1\right)}$$
donde ahora sólo "equianharmonic caso" de Weierstrass elíptica funciones están involucrados.
Si estas funciones están representadas en el plano complejo, con una estructura hexagonal similar a lo observado para el Dixon elíptica funciones pueden ser vistos. Esto sugiere que podría haber una relación entre estas funciones y las Dixon funciones elípticas.
En particular, el uso de la homogeneidad de las relaciones, se puede demostrar que
$$f(z)=-\frac{\mathrm{cm}\left(\frac{\Gamma(1/3)^3}{2\pi}\sqrt{3}z\right)}{\mathrm{sm}\left(\frac{\Gamma(1/3)^3}{2\pi}\sqrt{3}z\right)}$$
Como prometí, aquí están las parcelas de $f(z)$ en la recta real:
un gráfico de contorno de las partes real e imaginaria de $f(z)$:
y parcelas de un solo "hexagonal mosaico" de $f(z)$:
Parcelas de $g(z)$ son similares desde $g(z)=f(-z)$.
