Aclaración sobre el teorema de factorización de Weierstrass

Question

Dada una función entera cualquiera $f(z)$ con ceros en $\{a_n\}$ debe ser de la forma

$$f(z) = z^m e^{g(z)} \prod_1^\infty E_{p_n}(z/a_n)$$ donde el $E_{p_n}$ denotan factores elementales, y $g$ está completo.

¿Es esta factorización única o hay algún contraejemplo? ¿Podemos elegir siempre la $p_n$ para que los mismos ceros $a_n$ dan los mismos valores de $p_n$ ?

Answer 1

No es único. Recordemos que $$E_p(z) = (1-z)\exp\left( z + \frac{z^2}2 + \cdots + \frac{z^p}p \right).$$

Para un ejemplo trivial, dejemos que $f(z) = 1-z$ con $a_1 = 1$ . Entonces

$$ f(z) = z^0 e^{-z} \underbrace{(1-z)\exp(z)}_{=E_1(z)} = z^0 e^{-z-z^2/2} \underbrace{(1-z)\exp(z+\frac{z^2}2)}_{=E_2(z)}. $$

En general, tienes cierto margen de maniobra para elegir $p_n$ .

(Si los ceros satisfacen algunas propiedades adicionales, se puede obtener la unicidad eligiendo '' $p$ lo más pequeño posible". Rudin llama a esto productos canónicos ).

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Más detalles añadidos El $E_p$ son en realidad factores de manipulación para hacer converger el producto infinito, y no estoy seguro de lo que quieres decir con elegirlos lo más pequeños posible. A veces (dependiendo del conjunto de ceros de $f$ ) es posible elegir $p_n$ indepentemente de $n$ y en este caso tiene sentido tomar $p_n$ lo más pequeño posible. Hacer esto dará lugar a lo que muchos autores llaman productos canónicos y estos son únicos.

Sin embargo, en general, $p_n$ tendrá que depender de $n$ y aumentando o disminuyendo algunos $p_n$ :s aquí y allá no afectará a la convergencia del producto infinito.