Considerar las tres dimensiones integral $$ \int_{\mathbb R^3} d^3x\,f(x)\delta(g(x)) $$ donde $\delta$ es la delta de dirac, $f,b:\mathbb R^3\to\mathbb R$ $g(x) = 0$ sobre alguna superficie $S$. Hay una manera de reescribir la integral anterior como una superficie integral sobre el conjunto de nivel de $S$? Relacionado con esto, hay algunos distribución de la identidad como $$ \delta(g(x)) = \int_S ds dt \frac{\delta^{(3)}(x - X(s,t))}{|g'(X(s,t))|} $$ donde $X(s,t)$ es una parametrización de $S$ que permitiría que una a este, de forma análoga a la fórmula $$ \delta(h(x)) = \sum_{x_0\h^{-1}(0)}\frac{\delta^{(3)}(x-x_0)}{|h'(x_0)|} $$ cuando la puesta a cero de $h$ es finito?
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Luca Filipozzi
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Esta es una pregunta interesante ya que ahonda en un contexto más general de la distribución de la versión de el cambio de las variables de las fórmulas para la integración de funciones. Esta misma pregunta es contestada por el Teorema 6.1.3 de Hormander del Análisis de los Lineales en derivadas Parciales Operadores, Vol. 1.
Para mayor comodidad, voy a reimpreso aquí:
Teorema 6.1.5 (Hormander Vol. 1): Si $g$ es una función con valores reales en $C^{\infty}(X)$, $X \subset \mathbb{R}^{n}$, y si $|g'| = |\nabla g| = \left( \sum_{j=1}^{n}|\partial_{x_{j}}g|^{2}\right)^{1/2} \neq 0$ al$g = 0$, $g^{*}\delta_{0} = dS/|g'|$ donde $dS$ es la distancia Euclídea de la medida de superficie en la superficie de la $\{x \in \mathbb{R}^{n} \, | \, g(x) = 0\}$.
Aplicado a su problema, tenga en cuenta que la ecuación \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^{3}}d^{3}x f(x) \delta_{0}(g(x)) \end{ecuación*} puede ser reescrita en la distribución de la notación como \begin{equation*} g^{*}\delta_{0}(f), \end{ecuación*} donde para las funciones lisas $u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{m}$, el pullback $g^{*}u$ se define como $u \circ g$. A fin de comprender adecuadamente el pullback de una distribución (por ejemplo,$g^{*} \delta_{0}$), se debe consultar a un texto sobre la distribución de la teoría. Sin embargo, siempre es posible aproximar una distribución por una secuencia de las funciones lisas, por lo que muchas veces es suficiente para mostrar lo que uno necesita en el contexto de las funciones lisas y, a continuación, aplicar la convergencia dominada para obtener la distribución de resultados.
De todos modos, para las funciones de prueba de $f \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$, hemos de Teorema 6.1.3 que \begin{align*} g^{*}\delta_{0}(f) & = \langle g^{*}\delta_{0}, f\rangle\\ & = \langle dS/|g'|, f \rangle\\ & = \int_{g^{-1}(0)} \frac{f(x)}{|\nabla g(x)|}\,dS_{x}. \end{align*}
SDiv
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Véase la sección 4.5 en la página de WP (y referencias incluidas): capa simple integral. Resulta que usted puede escribir $$\int_{\mathbb{R}^3} f(\vec{r})\delta(g(\vec{r}))d\vec{r}=\int_{S}\frac{f(\vec{r})}{|\vec{\nabla}g(\vec{r})|}d\sigma$$
Una muy pregunta similar a esta es de aquí.
