Cómo demostrar a $ \lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sqrt[n]{n}-1 \right)^{n}=0 $.

Question

Estoy tratando de demostrar que $ \lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sqrt[n]{n}-1 \right)^{n}=0 $. Mi intento es como sigue.

Ya que para cada $n\in \mathbb{N}$, $n>0$ por aritmética geométrica de la desigualdad de $$ \sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{n.1...1}=\le \dfrac{n+1+...+1}{n}=\dfrac{n+n-1}{n}=2-\dfrac{1}{n} $$.

Por lo tanto $$0<\sqrt[n]{n}-1\le 1-\dfrac{1}{n}<1.$$

Por lo $ \lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sqrt[n]{n}-1 \right)^{n}=0 $.

Es esto correcto ? Si no ¿cómo mostrar que $ \lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sqrt[n]{n}-1 \right)^{n}=0 $ ? Por favor me ayude. Gracias.

Answer 1

La desigualdad $$ \sqrt[n]{n} \leq \frac{1+\ldots+1+n}{n}= 2-\frac{1}{n}$$ da: $$ \limsup_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^n \leq\frac{1}{e} $$ pero si consideramos la mejora ligeramente la desigualdad: $$ \sqrt[n]{n}\leq\frac{1+\ldots+1+\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n}=1-\frac{2}{n}+\frac{2}{\sqrt{n}}$$ usted obtener fácilmente: $$ \lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^n = 0 $$ como quería.

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Por una fuerte desigualdad, usted necesita escribir $n$ como producto de la $n$ números, muy cerca una de la otra: que no es difícil de alcanzar. Desde: $$ n=1\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k} $$ por el AM-GM de la desigualdad se sigue que: $$ \sqrt[n]{n}\leq 1+\frac{H_{n-1}}{n} $$ que es esencialmente óptima, ya $e^x\geq 1+x$ implica: $$ \sqrt[n]{n} \geq 1+\frac{\log n}{n}.$$

Answer 2

No exactamente riguroso, pero usted puede hacer que sea riguroso, sin demasiado esfuerzo, pienso: Esto es suficiente para mostrar que

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} < 2 $$

Pero esto es trivial, ya que $2^n \gg n$. Por lo tanto el límite de la siguiente manera. (De hecho, $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$.)

ETA: Si el $2$ pone nervioso, puede sustituir cualquier valor de $q, 1 < q < 2$. @Hicieron eligió $q = 3/2$ en los comentarios.

Answer 3

Podemos acercarnos a este uso de la fuerza bruta a través de la aplicación de L'Hospital de la Regla.

$$\lim_{n\to \infty}(n^{1/n}-1)^n=\exp{\lim_{n\to \infty}n\log(n^{1/n}-1)}$$

Ahora, echemos un vistazo al interior del límite.

$$\lim_{n\to \infty}n\log(n^{1/n}-1)=\lim_{n\to \infty}\frac{\log(n^{1/n}-1)}{n^{-1}}=-\lim_{n\to \infty}n^2\frac{1-n^{-2}\log n}{n^{1/n}-1}=-\infty$$

En cuanto a $\lim_{x\to -\infty}e^x=0$, se obtiene el resultado esperado.