No todos los no-trivial finito grupo tiene un subgrupo con el primer índice?

Question

Sea G ser no trivial finito grupo.

Ha G siempre un subgrupo, cuyo índice es un número primo ?

Si G es solucionable y |G| tiene un divisor primo $p$, de tal manera que $p^2$ no divide $|G|$, este es el caso, porque de la Sala del teorema.

Si $G$ $p$- grupo, la respuesta también es positiva.

El grupo $A_5$, por ejemplo, no es solucionable, pero tiene subgrupos con índice de $5$.

Así que, me pregunto si siempre podemos encontrar un subgrupo con el primer índice.

Answer 1

No. El primer contraejemplo que se me ocurre es $A_8$. El mayor factor principal de $|A_8|$ es de siete. Pero si hubo un subgrupo $H$ de índice de $p\le7$, entonces no sería un no-trivial homomorphism $\phi:A_8\to S_p$. Más precisamente, la acción natural de la $A_8$ en la colección de $X=A_8/H$ de izquierda cosets de $H$ dada por la regla de $g\cdot (xH)=(gx)H$ es un homomorphism de$A_8$$Sym(X)\simeq S_p$. Porque la acción es transitiva, la homomorphism no es trivial.

Pero porque $|S_p|\le |S_7|<|A_8|$, $\operatorname{Ker}(\phi)\unlhd A_8$ es necesariamente un no-trivial normal subgrupo de contradecir a la simplicidad de $A_8$.

Answer 2

Este artículo es relevante.

En ella, Robert Guralnick clasifica - el uso de la clasificación - el finitos simples grupos que tienen un subgrupo de prime-índice de poder.

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Añadido el caso de La solución de los grupos.

Si $G$ es una solución grupos, a continuación, $G' < G$ donde $G'$ es la derivada de los subgrupos. Ahora $G/G'$ es un grupo abelian. Encontrar un subgrupo $H/G'$ de primer índice en ella, y tire de él para un subgrupo de primer índice$H$$G$.

Answer 3

$A_n$ , no tiene ningún subgrupo de primer índice fib $n \geq 6$ $n$ no es primo .

Debido a esto theorm :
Teorema : Si $G$ es un simple grupo subgrupo de índice $m>1$, luego $$|G|\quad |\quad m!$$ Proof : if $G$ has subgroup $H$ , and $G$ act on the cosets of $H$, then we have homomorphism from $G$ to $S_m$ with trivial kernel (because $G$ es simple).
Por supuesto $A_{p-1} \triangleleft A_p$ .$\Box$

Para otro de los ejemplos , porque sólo normal subgrupos de $S_n ( n \geq 5)$$1 , A_n$$S_n$, de la misma forma que muestran que no hay un subgrupo de índice$2<r<n$$S_n$ .