¿Cómo es la suavidad del espacio de deformaciones relacionadas con unobstructedness?

Question

Como un principio diferencial aparejador, he estado tratando de aprender acerca de la teoría de la deformación. Otro de Kodaira del libro, he encontrado prácticamente no hay referencias desde el punto de vista de la geometría diferencial. Como tal, a mi entender no está clara.

• Estoy haciendo esta pregunta en un intento de aclarar mi comprensión vaga, especialmente en lo que respecta a la última viñeta de la lista de abajo. Definiciones precisas de los términos son bienvenidos, como son las referencias a libros o de introducción de documentos sobre el tema.

Mi comprensión vaga va como esto:

Estamos interesados en el estudio de las "deformaciones" de un objeto geométrico $X$ (por ejemplo, un complejo colector de $X$). Podemos asociar a $X$ su "deformación de la secuencia exacta," lo que equivale a un núcleo cokernel secuencia exacta en algunos cohomology de la teoría (por ejemplo, Cech cohomology) de algunos de mapa de $\varphi$ que no entiendo: $$0 \to \text{Ker}(\varphi_*) \to H^1_X \xrightarrow{\varphi_*} H^2_X \to \text{Coker}(\varphi_*) \to 0.$$ Interpretamos esto como sigue:

• $\text{Ker}(\varphi_*)$ es el espacio de la infinitesimal (o "de primer orden") deformaciones. Un objeto $X$ es rígido iff $X$ no tiene deformaciones infinitesimales, es decir, $\text{Ker}(\varphi_*) = 0$.

• $\text{Coker}(\varphi_*)$ es el espacio de la infinitesimal (o "de primer orden") obstrucciones. Un objeto $X$ está sin obstrucción iff $X$ no tiene obstrucciones -- i.e, $\text{Coker}(\varphi_*) = 0$.

• Deje $\mathcal{M}$ ser el "espacio de moduli de deformaciones locales de $X$." La "formal el espacio de la tangente" $T_X\mathcal{M}$ es el espacio de primer orden de las deformaciones, es decir, $T_X\mathcal{M} \cong \text{Ker}(\varphi_*)$.

• De alguna manera, en algunos casos, la suavidad de $\mathcal{M}$ está relacionado con si $X$ está libre de obstáculos. En este caso, $\dim(\mathcal{M}) = \dim(T_X\mathcal{M}) = \dim(\text{Ker}(\varphi_*))$.

Más confusa pensamientos: yo pienso que en los casos que yo soy interesado en, el mapa de $\varphi_*$ puede ser considerado como el diferencial de algunas mapa de $\varphi \colon \text{Somewhere} \to \text{Somewhere Else}$, e $\mathcal{M} = \varphi^{-1}(\text{point})$, lo $\mathcal{M}$ es suave si $\varphi$ es una inmersión (significado $\varphi_*$ es surjective, por lo $\text{Coker}(\varphi_*) = 0$), en cuyo caso $T_X\mathcal{M} = \text{Ker}(\varphi_*)$. Cómo funciona esto exactamente, no lo sé.

Answer 1

Considere el siguiente ejemplo muy básico. El esquema afín $\text{Spec } k[x, y]/xy$ es singular en el origen. Esta singularidad puede ser detectado como sigue: el Zariski el espacio de la tangente en el origen, que pensamos como el espacio de $k$-álgebra de mapas $k[x, y]/xy \to k[e]/e^2$ que reducir a $x, y \mapsto 0 \bmod e$, es de 2 dimensiones, ya que podemos tomar

$$x \mapsto ae, y \mapsto be$$

para cualquier $a, e$. Pero la mayoría de estos vectores tangente no levante 2-jets. El espacio de la 2-jets en el origen es el espacio de la $k$-álgebra de mapas $k[x, y]/xy \to k[e]/e^3$ que reducir a $x, y \mapsto 0 \bmod e$, y si $x \mapsto ae$$a \neq 0$, entonces debemos tener $y \mapsto be^2$ algunos $b$, y viceversa. Así que la única tangente vectores que levante 2-los aviones son aquellos con $a = 0$ o $b = 0$. (Geométricamente esto debe tener sentido ya que esta variedad es la unión de las $x$ - $y$- eje y estos son los vectores tangente señalando a lo largo de los ejes.)

Este ejemplo puede ser utilizado para motivar la definición de formal suavidad en la geometría algebraica. Esta es una condición más débil que ser suave, y es generalmente establecido en mucho más generalidad de lo que necesitamos aquí: todo lo que necesitamos es que formal suavidad de un espacio de $M$ (variedad, el esquema de la pila, lo que sea) implica que cualquier vector tangente $\text{Spec } k[e]/e^2 \to M$ levanta a una 2-jet $\text{Spec } k[e]/e^3 \to M$.

Ahora tome $M$ a ser un espacio de moduli de cualquier tipo de objetos que se está tratando de deformar. Un punto de $M$ es un objeto de ese tipo. Un vector tangente a un punto es una de primer orden de la deformación de ese objeto. Y un 2-jet es un de segundo orden de la deformación. Así que si $M$ es suave en un punto, entonces esperamos que cualquier vector tangente a levantar a un 2-jet, que es precisamente la afirmación de que de primer orden deformaciones ascensor a la segunda orden de deformaciones.

Si $X$ es un objeto que describe un punto del espacio de moduli $M$, la cuestión es que este negocio tiene que ver con, digamos, la tangente paquete de $X$. La historia corta es que la definición correcta de "el espacio de la tangente de $M$ $X$" debe devolver un objeto llamado la tangente complejo de $X$ (cambiado por $1$), que es una versión derivada de la tangente paquete de $X$, e "$M$ es suave en $X$" significa que la recta tangente complejo se concentra en el grado $\pm 1$ (es uno de estos, no sea, pero no me pidas que averiguar), donde es habitual que se tangente paquete. Obstrucciones en vivo en la tangente complejo en otros grados, por lo que si no hay ninguno otros grados, entonces no hay ningún otro tipo de obstáculos.

Answer 2

He aquí un cuento de hadas.

Deje $M$ ser una orientada a Riemann 4-colector con un $G$-bundle $E \to M$ más. (A menudo tomamos $G=SU(2)$.) Dada una conexión de $A$, puedo definir la curvatura $F_A$, y su auto-dual de la parte $F_A^+ = (*F_A + F_A)/2$. El instanton ecuación es $F_A^+ = 0$.

El espacio de las conexiones es afín $\Omega^1(\mathfrak g_E)$, 1-formas con valores en el endomorfismo paquete de $E$. Debido a $F_{A+a} = F_A + d_A a + a \wedge a$, el mapa de $a \mapsto F_{A+a}^+$ está dado por $F_A^+ + d_A^+ a + (a \wedge a)^+$. La derivada es este mapa es $d_A^+: \Omega^1(\mathfrak g_E) \to \Omega^2_+(\mathfrak g_E)$.

Ahora, el espacio que me interesa no es el espacio de instantons (soluciones a $F_A^+ = 0$), sino el espacio de moduli de la misma, cuando me mod a cabo por el grupo gauge $\mathcal G = \text{Aut}(E)$ de fibra de preservar paquete de automorfismos. La Mentira de álgebra de esto es $\Omega^0(\mathfrak g_E)$, y el diferencial de la acción de la $\mathcal G$$\mathcal A$$A$$\sigma \mapsto d_A\sigma$.

Precisamente esta es la configuración que te he dado anteriormente, con $d_A^+ = \varphi$ en esta configuración. En realidad, yo prefiero escribir mi complejo es un poco más grande: $$\Omega^0(\mathfrak g_E) \xrightarrow{d_A} \Omega^1(\mathfrak g_E) \xrightarrow{d_A^+} \Omega^2_+(\mathfrak g_E).$$ Now what I should really do so that $\varphi$ is actually correct is consider instead the map $\varphi = d_A^* \oplus d_A^+: \Omega^1 \a \Omega^0 \oplus \Omega^2_+$. At least infinitesimally, this is the solutions to the equations living in a certain slice of the gauge group action; so when I mod out by the gauge group, we've actually found what my moduli space looks like infinitesimally. (At least, this is true provided $d_A$ no tiene núcleo. Asumir que no, para los casos donde no son importantes, pero especial y no creo iluminando en la general de la deformación de la teoría marco.)

Ahora echemos un vistazo a su formalismo. ¿Qué significa cuando estoy pidiendo que $\varphi$ está libre de obstáculos? Esto significa precisamente que mi instanton ecuación de $F_A^+$ tiene un local inversa en el sector que hemos elegido (siempre que usted cree que el regular teorema del valor en este marco; uno tiene que pasar a un espacio de Sobolev de finalización para conseguir que realmente funciona): tanto que $d_A$ es inyectiva (= $d_A^*$ es surjective = mi conexión es irreductible; no te preocupes por esto) y que $d_A^+$ es surjective ( $F_A^+$ tiene un local inversa de todo el mundo). Que es, he demostrado que mi espacio de moduli es localmente suave cerca de $A$ una solución a la instanton ecuación. Esta es la única manera de realmente mostrar suavidad. En esta situación, el real honesto a dios el espacio de la tangente en el interior del segmento (y, por tanto, el espacio de moduli) a $A$ es precisamente el mismo que $\text{ker}(d_A^* \oplus d_A^+)$

Y lo hace de la rigidez significa? Esto significa que este espacio de la tangente es cero, y por lo tanto que no puedo encontrar otras soluciones a nivel local.

Una última nota es que me parece que no se han mencionado cohomology aquí. El punto es que cuando $\varphi$ está libre de obstáculos, la única cohomology de mi complejo es en el grado medio. Puedo calcular esto, entonces, como la característica de Euler de todo el complejo - $H^0 - H^1 + H^2_+ = \dim \mathcal M$. El uso de la Atiyah-Singer índice teorema para calcular el lado izquierdo para ser $8c_2(E) - 3(1-b_1(M) + b_2^+(M))$, o algo así.

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Este cuento de hadas se debe tener cierta semejanza con la realidad. He pensado en esto, ni mucho menos, pero he aquí una idea de lo que es la idea que debe parecer por las deformaciones de estructuras complejas. Una compleja estructura en $M$, por Newlander-Nirenberg, es una conexión de $TM \xrightarrow{\bar \partial} TM \otimes T^*M$$(\bar \partial)^2 = 0$. Una deformación de esto se da mediante la adición de un $TM$con valores de 1 formulario a -$A$; y la linealización de $(\bar \partial + A)^2 = 0 $$\bar \partial A = 0$. Así que te interesa en el mapa de $\varphi: \Omega^1(TM) \to \Omega^2(TM)$$\bar \partial$. Y quiero mod a cabo por los automorfismos del sistema de coordenadas local, que es infinitamente la imagen de $\Omega^0(TM) \to \Omega^1(TM)$, creo, pero no lo recuerdo. También tengo la vaga impresión de este problema es obstruido por algún motivo? Pero no puedo recordar por qué. Así que lo que importa es, precisamente,$H^1_{\bar \partial}(TM)$.

Vamos a especializar a la superficie de Riemann caso (que es por eso que yo creo que lo que estoy diciendo, porque da los resultados que sé que son verdaderas). No, yo en realidad sólo tienen un complejo de $\Omega^0(TM) \to \Omega^1(TM) \to \Omega^2(TM)$. Riemann-Roch nos diga que la característica de Euler de este complejo es $3-3g$, y yo por alguna razón convencido a mí misma de que el último mapa es surjective, por lo $3-3g = H^0(TM) - H^1(TM)$. Al $M$ es de género 0, $H^0(TM) = 3$$H^1(TM) = 0$; al $M$ es de género 1, $H^0(TM) = 1$, lo $H^1(TM) = 1$; y al $M$ género $g \geq 2$, el automorphism grupo (cuyo Mentira álgebra, de la nota, es holomorphic campos vectoriales = $H^0(TM)$) es 0-dimensional y $H^1(TM) = 3g-3$, tal y como esperábamos.