Cuando se busca la funcional determinante en la Wikipedia, un lector que se trata de dos posibles definiciones de la funcional determinante, y su acuerdo es trivial en dimensiones finitas.
La primera definición se basa en la función zeta de regularización. Si un operador $S$ ha el espectro de autovalores $\{\lambda_i\}$, a continuación, la asociada a la función zeta es formalmente el operador de seguimiento
$$\zeta_S(s)=\mathrm{tr}(S^{s})=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i^{-s}.$$
La suma converge sólo cuando el $\mathrm{Re}(s) de dólares es lo suficientemente grande, por lo que $\zeta_S$ se define por la continuación analítica en otros lugares en $\mathbb{C}$. Formalmente, esto significa que (simbólico en apariencia al menos)
$$\det S =e^{-\zeta_S'(0)}=\prod_{i=1}^\infty\lambda_i.$$
Aunque esto no es literalmente convergente, sí establece una base intuitiva de por qué la cantidad puede ser llamado un factor determinante a través de la analogía con el caso de dimensiones finitas.
Por otro lado, la siguiente ruta integral de cantidad es una segunda vía posible para definir el factor determinante para el adecuado operadores:
$$\frac{1}{\sqrt{\det S}} \propto\int e^{-\pi\langle \phi,S\phi\rangle}\, \mathcal D\phi.$$
En lo finito-dimensional en el espacio Euclidiano, la proporción es una igualdad efectiva, que puede ser visto por escrito del producto interior como $\langle x, Sx\rangle=\lambda_1x_1^2+\cdots+\lambda_nx_n^2$, la separación de la integral y luego observar que cada factor es $\int dx_i=\infty$ cuando $\lambda_i=0$ o un reescalado de Gauss integral de lo contrario. Sin embargo, en el infinito-dimensional caso sólo podemos comparar los factores determinantes de los operadores en la proporción relativa de cada uno de los otros, de modo que las divergencias entre las constantes de cancelar de forma adecuada.
Se afirma que los resultados de estas dos definiciones están de acuerdo unos con otros, y la Wikipedia cita el papel Extremals de los factores Determinantes de la Laplacians como habiendo establecido este hecho. Sin embargo, de lo poco que en el papel que yo realmente pueda seguir, no veo ninguna demostración de que la zeta de regularización y la ruta integral de la formulación de acuerdo unos con otros, de tal modo que yo estoy tan fuera de mi profundidad ni siquiera puedo reconocer la prueba de dejar solo lo entienden, o el artículo de la Wikipedia es equivocada.
La anterior es una posibilidad - entiendo lo que los colectores son y pueden hacer algunas básica tensor de manipulaciones para, por ejemplo, derivar la ecuación geodésica, pero aparte de esto no estoy educado en la geometría diferencial, y me siento igualmente ignorantes a todos, pero la construcción básica de una ruta integral. Estaría agradecido si alguien pudiera arrojar luz sobre la teoría subyacente en juego aquí en un nivel puedo entender, si es posible.
